Bewegungsgleichung eins gedämpfter harmonischer Oszillator

Question

Aufgabe:

$$\text{ Die Bewegungsgleichung für einen gedämpften 1-dimensionalen harmonischen Oszillator lautet }$$

$$m\ddot{x} +\alpha_R\dot{x}+m\Omega^2 x=0$$

$$\text{ Lösen Sie diese für vorgegebene Anfangswerte }x_{0}\text{ und }v_{0} \text{ für x und } \dot{x}$$
Problem/Ansatz:

$$x(t)=Ce^{\lambda*t} => m \lambda^2+\alpha_R \lambda+m\Omega^2=0$$
$$<=>\lambda^2+\frac{\alpha_R \lambda}{m}+\Omega^2=0$$
$$=> \lambda_{1,2}=-\frac{\alpha_R}{2m}\pm \sqrt{(\frac{\alpha_R}{2m})^2-\Omega^2}$$

Ist das nicht die Lösung der Gleichung ? und wenn ja warum die Bedingungen x₀  und v₀ wenn diese für die Lösung der Gleichung nicht nötig sind ?

Answer 1

Hallo,

\( m \ddot{x}+\alpha_{R} \dot{x}+m \Omega^{2} x=0 \)

Ist das nicht die Lösung der Gleichung ? Nein

Die allg. Lösung lautet:

\( x(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} \).

Warum die Bedingungen x₀ und v₀ ?

Das sind die Anfangswerte:

\( x(0)=x_{0} \) und \( \dot{x}(0)=v_{0} \)

Diese sind in die Lösung einzusetzen (1.Ableitung bilden)