Aus Potential die Bewegungsgleichung ermitteln

Question

Aufgabe:

Ein Teilchen mit Masse m bewegt sich im Potential

$$U(x)= \frac{-U_0}{cosh^2(\frac{x}{x_0} )}$$ , wobei U₀ > 0, x₀ > 0

a) Beschreiben Sie die Bewegungen des Teilchens jeweils für positive und negative Gesamtenergie und fertigen Sie eine Skizze an.

b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung des Teilchens für E_ges = 0 und beliebige x(t = 0) = x₁.

c) Zwei Teilchen mit identischer Masse und gleicher Energie E_ges >U₀ starten an der Stelle ?x₁ in Richtung x₁. Das erste Teilchen bewegt sich im Potential U(x). Das zweite Teilchen erfährt keine Kraft. Nach welcher Zeit legen die beiden Teilchen die Strecke von? x₁ bis x₁ zurück? Wie groß ist der Laufzeitunterschied für x₁ ?


Ansatz:

Für die a)

Habe ich mir überlegt zunächst aus der Gleichung E_ges=U+T die Geschwindigkeit $$\dot{x}$$ zu berechnen als auch x_max. Natürlich aus den Bedingungen, dass

E= U+T mit $$\dot{x}=0$$ folgt E=U

E= U+T mit $$x=0$$ folgt E=T

Danach wollte ich ein Phasenportrait bzgl $$x$$ und $$ \dot{x}$$ anfertigen.

Deswegen lautet meine frage zur a) ob diese Herangehensweise korrekt ist und was genau mit positiver und negativer Gesamtenergie gemeint ist, ob man da jetzt nur einen Vorzeichenwechsel vor nehmen sollte oder nicht.

Zur b)

Nun da habe ich mir überlegen, ob man E = T+U mit $$T=\frac{1}{2}m\dot{x^2}$$ nach $$ \dot{x}$$ aufzulösen. Da diese eine DGL ist die sich mit Separation der Variablen lösen lässt und nach der Aufgabenstellung E=0 ist, kam ich auf folgendes Ergebnis

$$t=\pm \int_a^b \! \sqrt{\frac{-2U}{m} } \, dx $$ mit $$U(x)= \frac{-U_0}{cosh^2(\frac{x}{x_0} )}$$

Zur c) hab ich leider noch keinen Ansatz