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Bewegungsgleichung des Schornsteins
Zur Ermittlung der Bewegungsgleichung des Schornsteins betrachten wir das physische Pendel. Die Bewegungsgleichung ist durch die Euler-Lagrange-Gleichung gegeben, welche für Rotationen um eine feste Achse lautet:
\(
I \ddot{\varphi} + mgh \sin(\varphi) = 0
\)
Dabei ist \(I\) das Trägheitsmoment des Schornsteins um seinen Drehpunkt (\(I = \frac{1}{3} m h^2\) für einen dünnen Stab um eines seiner Enden), \(m\) die Masse des Schornsteins, \(g\) die Erdbeschleunigung, und \(h\) die Höhe des Schornsteins.
Eingesetzt ergibt das:
\(
\frac{1}{3} m h^2 \ddot{\varphi} + mgh \sin(\varphi) = 0
\)
\(
\Rightarrow \ddot{\varphi} + \frac{3g}{h} \sin(\varphi) = 0
\)
Lösung der Bewegungsgleichung
Die Gleichung \(\ddot{\varphi} + \frac{3g}{h} \sin(\varphi) = 0\) ist eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung und beschreibt die Bewegung des physischen Pendels. Eine exakte analytische Lösung dieser Gleichung in der Form \(\ddot{\varphi}=f(\varphi)\) und \(\dot{\varphi}=f(\varphi)\) ist nicht trivial und erfordert speziellere mathematische Methoden, wie z.B. die Nutzung der Jacobi-Elliptischen Funktionen für \( \varphi(t) \), was über den Rahmen dieser Antwort hinausgehen würde.
Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten
In Polarkoordinaten kann die Geschwindigkeit \( \vec{v} \) und Beschleunigung \( \vec{a} \) eines Punktes entlang des Schornsteins in Abhängigkeit von \( \varphi \) ausgedrückt als:
\(
\vec{v} = r \dot{\varphi} \hat{\theta}
\)
\(
\vec{a} = -r \dot{\varphi}^2 \hat{r} + r \ddot{\varphi} \hat{\theta}
\)
wobei \( r = h - x \) der Abstand vom Drehpunkt (Fußpunkt des Schornsteins) zum betrachteten Punkt auf dem Schornstein ist, \( \hat{r} \) und \( \hat{\theta} \) die Einheitsvektoren in radialer und tangentialer Richtung sind.
Trägheitsstreckenlasten
Nach dem d'Alembertschen Prinzip lassen sich die Trägheitskräfte als innere Kräfte eines dynamischen Systems interpretieren. Die Streckenlasten als Folge dieser Trägheitskräfte sind proportional zur lokalen Beschleunigung, wodurch die quer zur Schornsteinachse wirkende Streckenlast \( q_{\perp} = -\mu r \dot{\varphi}^2 \) und die längs zur Schornsteinachse wirkende Streckenlast \( q_{\parallel} = \mu r \ddot{\varphi} \) ist, mit \( \mu = \frac{m}{h} \) als Massenverteilung pro Längeneinheit des Schornsteins.
Schnittgrößen \(N(x), Q(x)\) und \(M(x)\)
Ohne den konkreten Verlauf von \( \varphi(t) \), \( \dot{\varphi}(t) \), und \( \ddot{\varphi}(t) \) zu kennen, können die Schnittgrößen nur qualitativ beschrieben werden. Allgemein werden \( N(x) \), die Normalkraft, und \( Q(x) \), die Querkraft, direkt durch die Streckenlasten \( q_{\parallel} \) und \( q_{\perp} \) beeinflusst. Das Biegemoment \( M(x) \) erfährt Beiträge sowohl von den Streckenlasten als auch direkt von den Trägheitsmomenten, die durch die Beschleunigung des Systems entstehen.
Bruchstelle und Winkel
Zur Ermittlung der Bruchstelle \( x_{B} \) und des Winkels \( \varphi_{B} \), bei denen das maximal aufnehmbare Biegemoment \( M_{B} = \frac{mg}{3} \) erreicht wird, wäre eine detaillierte Analyse des Biegemoments \( M(x) \) unter Verwendung des spezifischen Verlaufs von \( \varphi(t) \), \( \dot{\varphi}(t) \), und \( \ddot{\varphi}(t) \) nötig. Ohne die spezifischen Funktionen \( f(\varphi) \) von \( \varphi \) und dessen Ableitungen zu kennen, ist eine präzise Angabe von \( x_{B} \) und \( \varphi_{B} \) mathematisch nicht direkt ableitbar. Generell wird der Bruch aber an der Stelle und bei dem Winkel auftreten, wo das Biegemoment den kritischen Wert von \( M_{B} = \frac{mgh}{54} \) übersteigt.
