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Lösungsansatz
Die Aufgabe scheint auf das ideale Gasgesetz basiert zu sein, welches besagt, dass \(PV = nRT\). Für diesen spezifischen Fall, wenn der Druck \(P\) konstant bleibt und nur die Temperatur variiert, können wir die direkte Beziehung zwischen Volumen \(V\) und Temperatur \(T\) betrachten, die als Charles' Gesetz bekannt ist. Charles' Gesetz besagt, dass, wenn der Druck konstant bleibt, das Volumen eines Gases direkt proportional zu seiner thermodynamischen Temperatur ist. Mathematisch wird dies ausgedrückt als \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\).
Umrechnung in Kelvin
Zunächst müssen wir jedoch beachten, dass Temperaturen beim Arbeiten mit Gasgesetzen in Kelvin umgerechnet werden müssen, da dies die absolute Temperaturskala ist.
Die Temperaturen in der Aufgabenstellung sind in °C gegeben:
- Anfangstemperatur: -173°C
- Endtemperatur: -168°C
Umrechnung in Kelvin:
- \(T_1 = -173°C + 273.15 = 100.15K\)
- \(T_2 = -168°C + 273.15 = 105.15K\)
Anwendung des Charles' Gesetzes
Nun, da wir sowohl Anfangs- als auch Endtemperaturen in Kelvin haben, können wir das Volumen des Gases nach der Erwärmung unter Verwendung des Charles' Gesetzes berechnen.
Das ursprüngliche Volumen (\(V_1\)) ist 1 \(m^3\) und die ursprüngliche Temperatur (\(T_1\)) ist 100.15K. Nach der Erwärmung ist die Temperatur (\(T_2\)) 105.15K. Das neue Volumen (\(V_2\)) muss berechnet werden.
\(
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}
\)
Einsetzen der bekannten Werte:
\(
\frac{1}{100.15} = \frac{V_2}{105.15}
\)
Lösen nach \(V_2\) ergibt:
\(
V_2 = 1 \times \frac{105.15}{100.15}
\)
\(
V_2 \approx 1.0498 \, m^3
\)
Das neue Volumen des Gases nach der Erwärmung ist etwa 1.0498 \(m^3\). Um zu bestimmen, wie viel Luft aus dem Behälter entwichen ist, subtrahieren wir das ursprüngliche Volumen (1 \(m^3\)) von diesem neuen Volumen.
\(
V_{entwichen} = V_2 - V_1
\)
\(
V_{entwichen} \approx 1.0498 - 1 = 0.0498\, m^3
\)
Was rund 0.05 \(m^3\) entspricht.
Daher ist die Menge der entwichenen Luft etwa 0.05 \(m^3\), was mit der Lösung übereinstimmt.
