Moin, ich habe folgende Wellenfunktion der Form gegeben
\( \psi(\vec{r}, t)=\frac{A}{r} e^{i(k r-\omega t)}, \quad r=|\vec{r}| . \)
Hierbei sind \( k \) und \( \omega \) reelle Konstanten, während die Konstante \( A \) komplex sein kann.
(a) Zeigen Sie, dass diese Wellenfunktion \( \psi \) die freie Schrödingergleichung erfüllt, wenn \( k \) und \( \omega \) durch die Dispersionsrelation verknüpft sind.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(\vec{r}, t) \) und den Strom \( \vec{j}(\vec{r}, t) . \) Bestimmen Sie \( A \) so, dass die Normierungsbedingung
\( \int \limits_{\mathbb{R}^{3}}|\psi(\vec{r}, t)|^{2} d^{3} \vec{r}=1 \)
erfüllt ist. Hinweis: Laplace- und Gradient-Operator in Kugelkoordinaten können als bekannt vorausgesetzt werden.
Hat jemand einer Vorstellung, wie ich das zeige?