Ich habe folgende Aufgabe: da sich jede komplexe Zahl in Betrag und Phase zerlegen lässt, können wir die Wellenfunktion immer in der Form
\( \psi(\vec{r}, t)=\sqrt{\rho(\vec{r}, t)} e^{i \varphi(\vec{r}, t)}, \quad \varphi(\vec{r}, t) \in \mathbb{R} \)
schreiben, wobei wie üblich \( \rho(\vec{r}, t)=|\psi(\vec{r}, t)|^{2} \) bedeutet.
(a) Drücken Sie die Wahrscheinlichkeiststromdichte \( \vec{j} \) (definiert in Gleichung \( \vec{j}=\frac{\hbar}{2 m i}(\bar{\psi} \vec{\nabla} \psi-\psi \vec{\nabla} \bar{\psi}) \)) durch \( \rho \) und \( \varphi \) aus.
(b) Wie ändern sich \( \rho \) und \( \vec{j} \), wenn die Wellenfunktion mit einem Phasenfaktor \( e^{i \alpha(\vec{r}, t)} \) multipliziert wird, wobei \( \alpha(\vec{r}, t) \in \mathbb{R} \) sein soll?
(c) Welche Bedingung muss \( \alpha(\vec{r}, t) \) erfüllen, damit mit \( \psi(\vec{r}, t) \) auch \( e^{i \alpha(\vec{r}, t)} \psi(\vec{r}, t) \) eine Lösung der Schrödingergleichung ist?
(d) Unabhängig davon, ob \( \psi \) die Schrödingergleichung erfüllt, wollen wir \( \psi \) als stationär bezeichnen, wenn die zugehörige Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte \( \rho \) und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsstromdichte \( \vec{j} \) zeitunabhängig sind. Zeigen Sie, dass eine stationäre Wellenfunktion immer die Separationsform \( \psi(\vec{r}, t)=T(t) \phi(\vec{r}) \) hat.
Mir ist bewusst, dass quantenmechanisch Teilchen immer eine gewisse Impulsunschärfe haben, d.h., wenn man freie Teilchen in ein (kleines) Intervall auf der x-Achse steckt, so verlassen sie dieses Intervall immer mit endlicher Wahrscheinlichkeit nach links oder rechts. Folglich muss die Wahrscheinlichkeit, ein freies Teilchen in einem solchen Intervall zu finden, mit der Zeit abnehmen. Stationäre Lösungen der Schrödingergleichung, bei denen diese Wahrscheinlichkeit konstant bleibt, sind also nicht möglich. Wisst ihr, wie man hier dennoch vorgeht, ich komme nicht dahinter leider
