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Ein Massenpunkt ist an einen Kegel mit Öffnungswinkel \( \vartheta_{0} \) gebunden, siehe Abbildung. Es wirke das homogene Gravitationsfeld mit Beschleunigung \( g . \) Reibungseffekte sind zu vernachlässigen.
Geben Sie die Lagrangefunktion an. Dabei ist es zweckmäßig, Kugelkordinaten \( (r, \vartheta, \varphi) \) einzuführen und \( r \) und \( \varphi \) als generalisierte Koordinaten zu verwenden.

Bei dieser Aufgabe muss ich die Euler-Lagrange-Gleichungen mit den Anfangsbedingungen
\( \begin{array}{l} \varphi(0)=0, \quad \dot{\varphi}(0)=\omega_{0} \\ r(0)=r_{0}, \quad \dot{r}(0)=0 \end{array} \)
Integrieren. Kann mir jemand helfen, wie das geht? Ich hatte zuvor noch nie mit Lagrange Gleichungen zu tun gehabt. Danke!
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Hallo

kannst du denn die kinetische und potentielle Energie aufschreiben, in den gegebenen Koordinaten? Woran scheiterst du? am integrieren oder am Aufstellen der Gleichung?

lul

1 Antwort

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Hallo,

Geschwindigkeit in Kugelkoordinaten kann man hier nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Differentiale,_Volumenelement,_Fl%C3%A4chenelement,_Linienelement

Theta ist bei dieser Aufgabe konstant (=ϑ_{0})

Also ist

\(L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot r^2+r^2sin^2(\vartheta_0)\dot \varphi)^2 -mgrcos(\vartheta_0)\)

Aufstellen der Euler-Langrange Gleichungen ( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus) liefert als Gleichung für Phi:

\(\ddot \varphi = 0 \Rightarrow \varphi (t)=\omega_0 t \)


Die Gleichung in r lautet:

\(\ddot r-rsin(\vartheta_0) \dot \varphi^2 +gcos(\vartheta_0)=0 \\\ddot r-rsin(\vartheta_0) \omega_0^2 =-gcos(\vartheta_0) \)

Hier löst man zuerst die homogene Gleichung

\(\ddot r-rsin^2(\vartheta_0) \omega_0^2 =-gcos(\vartheta_0)=0 \)

und eine inhomogene Lösung findet man per Ansatz.

Lösung:

\(r(t)=\frac{gcos(\vartheta_0)}{sin^2(\vartheta_0)\omega_0^2}+c_1 e^{sin(\vartheta_0)\omega_0 t}+c_2 e^{sin(\vartheta_0)\omega_0 t}\)

c1 und c2 sind noch mit den Anfangsbedingungen zu ermitteln.

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Super, vielen Dank für die ausführliche Erläuterung!

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