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Aufgabe:

Ein Fadenpendel der Länge 1 m stößt von links gegen kommend mit seinem Faden 75 cm unter dem Aufhängepunkt gegen eine Stange

a) Vergleichen Sie ohne Rechnung die maximale links und rechts von der Gleichgewichtslage.

b) Beurteilen Sie, ob man hier von einer harmonischen Schwingung sprechen kann.

c) Berechnen Sie die Periodendauer der Schwingung.

d) Zeichne Sie das t-s Diagramm für eine Periode. Startpunkt ist die maximal Elongation 5 cm links.

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a) Vergleichen Sie ohne Rechnung die maximale links und rechts von der Gleichgewichtslage

Da die Stange den Weg des Fadenpendels blockiert, wird die maximale Elongation, also die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage, auf der Seite der Stange geringer sein als auf der entgegengesetzten Seite. Ohne den Eingriff durch die Stange würde das Pendel auf beiden Seiten die gleiche maximale Elongation erreichen, basierend auf seiner Anfangsauslenkung. Die maximale Elongation links (ohne Hindernis) wird daher größer sein als die maximale Elongation rechts (wo die Stange ein Hindernis darstellt).

b) Beurteilen Sie, ob man hier von einer harmonischen Schwingung sprechen kann

Eine harmonische Schwingung ist eine Schwingung, bei der die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung vom Gleichgewichtspunkt und entgegengesetzt gerichtet ist. Die Schwingung eines idealen Fadenpendels wird häufig als ein näherungsweise harmonischer Oszillator betrachtet, solange die Auslenkungen klein sind und es keine Dämpfung oder sonstige äußere Kräfte gibt.

In diesem Fall wird die Schwingung auf der einen Seite durch die Stange gestört, was bedeutet, dass die Schwingung nicht symmetrisch ist und daher nicht mehr als rein harmonisch im strengen Sinne betrachtet werden kann. Jedoch kann die Bewegung für kleine Auslenkungen auf der freien Seite weiterhin als näherungsweise harmonisch angesehen werden, sofern die Auslenkung auf dieser Seite klein bleibt und die Energieverluste durch den Stoß minimal sind.

c) Berechnen Sie die Periodendauer der Schwingung

Für ein Fadenpendel gilt für die Periodendauer \(T\):

\( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \)

wo \(l\) die Länge des Fadens (1 m) ist und \(g\) die Erdbeschleunigung (\(9,81 \mathrm{\,m/s^2}\)).

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\( T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9,81}} \)

\( T \approx 2\pi \sqrt{0,1019} \)

\( T \approx 2\pi \times 0,319 \)

\( T \approx 2,005 \mathrm{\,s} \)

Die Periodendauer der Schwingung beträgt also ungefähr 2,005 Sekunden, wenn man die Störung durch die Stange nicht berücksichtigt. Die reale Periodendauer könnte aufgrund der Störung und eventueller Energieverluste beim Stoß leicht abweichen.

d) Zeichnen Sie das t-s Diagramm für eine Periode. Startpunkt ist die maximale Elongation 5cm links.

Ein t-s Diagramm (Zeit-Weg Diagramm) grafisch zu illustrieren ist hier textuell begrenzt, aber ich kann beschreiben, wie es aussieht:

1. Beginne bei \(t = 0\) s an einem Punkt links bei \(s = -5\) cm (maximale Elongation links).
2. Das Diagramm steigt zuerst steil an, bewegt sich über den Gleichgewichtspunkt (0 cm) hinweg zur maximalen Elongation rechts, die durch die Stange kleiner ist als 5 cm.
3. Nachdem das Pendel die Stange erreicht hat und zur anderen Seite zurückpendelt, bewegt es sich wieder in Richtung des Startpunkts und erreicht diesen bei etwa \(t = T/2\).
4. Im zweiten Teil der Periode wiederholt sich der Vorgang spiegelverkehrt: Von \(t = T/2\) bis \(t = T\) pendelt das System zurück zur maximalen Elongation links bei \(s = -5\) cm, wobei der Punkt bei \(t = T\) erreicht wird.

Das Diagramm zeigt eine asymmetrische Schwingung, wenn die Einwirkung der Stange betrachtet wird, da die Störung die maximale Elongation auf einer Seite begrenzt.
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