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Frage aus der Physik zum Thema Linsen und Abbildungsgleichungen:

Wie groß wäre das Bild der Sonne, wenn man es mit einem Teleskopobjektiv mit 10 m Brennweite erzeugen würde? (Rechnen Sie so, als ob es sich um eine Linse handelt). Welche Intensität hätte die Strahlung in der Bildebene, wenn das Objektiv 1 m Durchmesser hat? (Bei einer Einstrahlung durch die Sonne von 1kW / m²)

Welche beiden Eigenschaften muss eine Linse haben, um bei diesem Experiment eine möglichst hohe Intensität zu erzielen?

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Größe des Bildes der Sonne mit einem Teleskopobjektiv mit 10 m Brennweite

Zur Berechnung der Bildgröße der Sonne mit einer Linse (oder einem Teleskopobjektiv) verwenden wir geometrische Beziehungen der Optik. Die Größe des Bildes (\(B\)) der Sonne kann mit Hilfe des Verhältnisses der Gegenstandsweite (\(g\)), der Bildweite (\(b\)) und der Gegenstandsgröße (\(G\)) berechnet werden. Dieses Verhältnis lautet:

\( \frac{B}{G} = \frac{b}{g} \)

Für astronomische Objekte, wie die Sonne, kann die Gegenstandsweite (\(g\)) als praktisch unendlich betrachtet werden, da sie im Vergleich zur Brennweite der Linse oder des Teleskops extrem groß ist. In solchen Fällen wird das Bild in der Brennebene der Linse erzeugt, was bedeutet, dass die Bildweite (\(b\)) der Brennweite der Linse (\(f\)) entspricht. Die Brennweite des Teleskops ist mit 10 m angegeben.

Der scheinbare Durchmesser der Sonne vom Erdboden aus betrachtet liegt bei etwa 0,5 Grad. Um den tatsächlichen Durchmesser des Bildes der Sonne in der Brennebene zu berechnen, wandeln wir den Winkel in Radianten um und verwenden dann trigonometrische Beziehungen:

\( B = 2 \times f \times \tan\left(\frac{0,5}{2}\times\frac{\pi}{180}\right) \)

\( B = 2 \times 10 \times \tan\left(\frac{0,5}{2}\times\frac{\pi}{180}\right) \approx 2 \times 10 \times 0,00436332313 \approx 0,087267 \, \text{m} \)

Das Bild der Sonne hätte also einen Durchmesser von ungefähr 87,267 mm oder etwa 8,7 cm.

Intensität der Strahlung in der Bildebene

Die Intensität der Strahlung (\(I\)) in der Bildebene hängt von der gesammelten Lichtmenge des Objektivs und der Fläche ab, auf die dieses Licht fokussiert wird. Die gesammelte Lichtmenge wird durch den Durchmesser des Objektivs bestimmt. In unserem Fall hat das Objektiv einen Durchmesser von 1 m, somit ist die Fläche (\(A\)):

\( A = \frac{\pi \times (1/2)^2}{4} = \frac{\pi}{4} \, \text{m}^2 \)

Die anfängliche Intensität der Sonnenstrahlung (\(I_0\)) beträgt 1kW/m². Die gesamte Leistung (\(P\)), die vom Objektiv aufgefangen wird, ist dann:

\( P = I_0 \times A = 1000 \, \text{W/m}^2 \times \frac{\pi}{4} \approx 785,4 \, \text{W} \)

Diese Leistung wird auf die Fläche des Bildes der Sonne fokussiert, die zuvor berechnet wurde. Die Fläche des sonnenbildes (\(A_{\text{Bild}}\)) ist:

\( A_{\text{Bild}} = \pi \times \left(\frac{0,087267}{2}\right)^2 \)

\( A_{\text{Bild}} = \pi \times (0,0436335)^2 \approx 0,005973 \, \text{m}^2 \)

Die Intensität in der Bildebene (\(I_{\text{Bild}}\)) ist dann:

\( I_{\text{Bild}} = \frac{P}{A_{\text{Bild}}} \approx \frac{785,4}{0,005973} \approx 131537,6 \, \text{W/m}^2 \)

Eigenschaften einer Linse für hohe Intensität

Um bei diesem Experiment eine möglichst hohe Intensität zu erzielen, muss die Linse folgende Eigenschaften haben:

1. Große Apertur (Durchmesser des Objektivs): Eine größere Apertur ermöglicht es, mehr Licht einzufangen, was die gesamte Lichtmenge, die auf das Bild fokussiert wird, erhöht.

2. Kurze Brennweite: Eine kürzere Brennweite verringert die Bildgröße, was die Intensität der Strahlung auf einer gegebenen Bildfläche erhöht, da dieselbe Lichtmenge auf eine kleinere Fläche konzentriert wird.
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