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Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, in Polarkoordinaten \( (r, \varphi) \) durch die Gleichung
\( r^{2}=\frac{\frac{2 a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \cos (2 \varphi)} \)
beschrieben wird. Hierbei bezeichnet \( a \) die grobe Halbachse und \( b \) die kleine Halbachse. Die Darstellung in kartesischen Koordinaten,
\( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
ist als bekannt vorauszusetzen.
(b) Zeigen Sie, dass die Orbits bei der Bewegung im dreidimensionalen Oszillatorpotential
\( U(r)=\frac{k}{2} r^{2}, \quad k>0 \)
Ellipsen sind, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
Hinweis zu (b): Bei der Integration der Orbitgleichung ist die Substitution \( r=u^{-1 / 2} \) hilfreich.

Kann mir jemand sagen, wie man das löst?

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1 Antwort

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Mit \( x = r \cos\varphi \)  und \( y = \sin\varphi \)  folgt $$  r^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 \sin^2(\varphi) + b^2 \cos^2(\varphi) } $$

Jetzt

\( 1 + \cos( 2\varphi) = 2 \cos^2 \varphi \)

und

\( 1 - \cos( 2\varphi) = 2 \sin^2 \varphi \)

benutzen.

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Vielen Dank!

Weißt du auch, wie man in b) zeigt, dass es sich um eine Ellipsenlaufbahn handelt?

Gibts zu der Aufgabe noch ein paar mehr Details?

Aus dem Potential ergibt sich die Kraft durch folgende Formel

\( \vec{F}(\vec{r}) = -\nabla U(\vec{r}) =  -k \vec{r} \) und daraus die Bewegungsgleichungen

$$ \vec{a} + \frac{k}{m} \vec{r} = 0 $$ Das sind die Gleichungen für einen harmonischen Oszillator. Die Lösungen lassen sich für jede Koordinate wie folgt schreiben

$$ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_1) $$ mit \( \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \)

$$ y(t) = B \cos(\omega t + \varphi_2) $$ Die Größen \( A, B \) und \( \varphi_1 \text{ und } \varphi_2 \) bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen.

Die Schwingungen stehen im rechten Winkel zueinander. In zwei Koordinaten ist das aber gerade die Paramterbeschreibung einer Ellipse.

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