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Liebe Forum-Mitglieder,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht ganz weiter:

Geben Sie die Bahnkurve r(t), der Masse m an, wenn sie reibungfrei von der Spitze eines Kegels mit Radius r und Höhe h runterrutscht. Bestimmen sie die Geschwindigkeit am Boden und überprüfen sie, ob ihr Ergebnis die Energieerhaltung bestätigt.

Wie gehe ich hier am besten vor? Ich nehme an, dass es Sinn macht, zunächst den Kegel auf die x-y-Ebene zu projizieren und dann den Weg für x und y getrennt zu betrachten, heißt:

x(t) = t
y(t) = -1/2*g*t²+h

Aber ableiten und dann Geschwindigkeit bestimmen ergibt bei mir einfach keinen Sinn... V.a. verstehe ich nicht, wie ich von Abhängigkeit der Zeit t zur x komme...

Liebe Grüße,
Zauberlehrling

von

Ist das nicht eher eine Physik-Frage? Hierfür gäbe es dann die Nanolounge.

Wenn dem so sein sollte, bitte hier antworten und nicht eine neue Frage auf der genannten Lounge stellen.

Sorry! Natürlich ist es eine Physikfrage... Würdest du das verschieben?

Das obliegt allein den Redakteuren. Ich habe die Frage aber markiert; es wird sich zeitnah darum gekümmert. Danke für die Rückmeldung.

1 Antwort

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Hallo,

mache Dir ein Bild:

blob.png

Die Masse \(m\) wird den kürzesten Weg nach unten nehmen, also auf einer Mantellinie des Kegels hinunter rutschen. Die einzige Kraft, die auf sie wirkt, ist die Gewischtskraft \(G\), die sich hier in die Kraft \(F_t\) (tangential) und \(F_n\) (normal) zur Mantellinie aufteilt. Das Verhältnis von \(F_t\) zu \(F_n\) ist wie \(h\) zu \(R\) - dem Radius des Kegels - und daraus folgt auch $$\frac{F_t}{G} = \frac{h}{ \sqrt{h^2+R^2}} \implies F_t = \frac{Gh}{ \sqrt{h^2+R^2}}$$Bezeichne ich mit \(s\) den Weg, den die Masse zurück legt und mit \(v\) ihre Geschwindigkeit so ist$$v = \int \frac{F_t}{m}\, \text dt = \frac{Gh}{ m\sqrt{h^2+R^2}} t + v_0 \\ s = \int v\, \text dt = \frac{Gh}{ 2m\sqrt{h^2+R^2}} t^2 + v_0t + s_0$$ich unterstelle, dass die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=0\) ist. Und da ich \(s\) von der Spitze \(S\) des Kegels zähle, ist auch \(s_0=0\).

Die Pojektion von \(s\) bzw. \(s(t)\) auf die Grundfläche ist der Weg \(r(t)\) der Masse$$r(t) = s(t) \frac{R}{\sqrt{h^2 + R^2}} = \frac{gRh}{2(h^2+R^2)}t^2$$\(g\) steht für die Erdbeschleunigung und weiter gilt \(G=mg\).

Bestimmen sie die Geschwindigkeit am Boden

Der Boden ist erreicht, wenn \(s(t) = \sqrt{h^2+R^2}\)$$\implies t_{\text{end}} = \sqrt{\frac{2(h^2+R^2)}{gh}} \implies v_{\text{end}} = \sqrt{2gh}$$

... und überprüfen sie, ob ihr Ergebnis die Energieerhaltung bestätigt.

nach dem Energieerhaltungssatz, müsste die potentielle Energie \(mgh\) am Anfang gleich der kinetischen Energie \(mv_{\text{end}}^2/2\) am Ende sein, wenn die Masse die Grundfläche des Kegels erreicht. Daraus folgt$$\begin{aligned} mgh &= \frac12 m v_{\text{end}}^2 \\ \implies v_{\text{end}} &= \sqrt{2gh}\end{aligned}$$das stimmt also überein.

von 4,4 k

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