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Ein zweidimensionales dynamisches System mit Kontrollparameter und mit diskreter Zeit sei gegeben durch

xk+1 = xk / yk
yk+1 = xk + a


(a) Bestimmen Sie die zwei Fixpunkte des Systems.

(b) Berechnen Sie zunachst an einer beliebigen Stelle x; y die Jacobi-Matrix J.

(c) Untersuchen Sie die Stabilitat der Fixpunkte fur a = 1 / 2 und für a = 3 / 2.

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Fixpunkte des Systems

Für die Fixpunkte eines Systems müssen die Bedingungen \(x_{k+1} = x_k\) und \(y_{k+1} = y_k\) gelten. Wir setzen diese Bedingungen in die gegebenen Gleichungen ein:

1. \(x = \frac{x}{y}\)
2. \(y = x + a\)

Aus der ersten Gleichung ergibt sich:
\(x = \frac{x}{y} \implies y = 1\)

Setzt man \(y = 1\) in die zweite Gleichung ein, erhält man:
\(y = x + a \implies 1 = x + a \implies x = 1 - a\)

Daher sind die Fixpunkte des Systems \((x, y) = (1-a, 1)\).

Jacobi-Matrix J

Die Jacobi-Matrix eines dynamischen Systems ist definiert als:
\(J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x_{k+1}}{\partial x_k} & \frac{\partial x_{k+1}}{\partial y_k} \\ \frac{\partial y_{k+1}}{\partial x_k} & \frac{\partial y_{k+1}}{\partial y_k} \end{bmatrix}\)

Für unser System berechnen wir die partiellen Ableitungen:
\( \begin{aligned} \frac{\partial x_{k+1}}{\partial x_k} &= \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\frac{x_k}{y_k}\right) = \frac{1}{y_k} \\ \frac{\partial x_{k+1}}{\partial y_k} &= \frac{\partial}{\partial y_k} \left(\frac{x_k}{y_k}\right) = \frac{-x_k}{y_k^2} \\ \frac{\partial y_{k+1}}{\partial x_k} &= \frac{\partial}{\partial x_k} (x_k + a) = 1 \\ \frac{\partial y_{k+1}}{\partial y_k} &= \frac{\partial}{\partial y_k} (x_k + a) = 0 \end{aligned} \)

Daraus folgt die Jacobi-Matrix:
\(J = \begin{bmatrix} \frac{1}{y_k} & \frac{-x_k}{y_k^2} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Stabilität der Fixpunkte

Die Stabilität eines Fixpunktes kann durch die Eigenwerte der Jacobi-Matrix am Fixpunkt bestimmt werden. Ein Fixpunkt ist stabil, wenn der Betrag aller Eigenwerte kleiner als 1 ist.

Einsetzen des Fixpunktes \((1-a, 1)\) in die Jacobi-Matrix:
\(J = \begin{bmatrix} 1 & -(1-a) \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Für \(a = \frac{1}{2}\) wird die Matrix:
\(J = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Und für \(a = \frac{3}{2}\) wird die Matrix:
\(J = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Um die Stabilität zu prüfen, müssen wir die Eigenwerte \(λ\) dieser Matrizen bestimmen, welche die Lösungen der charakteristischen Gleichung \(\det(J - λI) = 0\) sind, wobei \(I\) die Einheitsmatrix ist.

Für \(a = \frac{1}{2}\):
Die charakteristische Gleichung ist \(\det\left(\begin{bmatrix} 1-λ & -\frac{1}{2} \\ 1 & -λ \end{bmatrix}\right) = 0\), was zu \(λ^2 - λ - \frac{1}{2} = 0\) führt. Die Lösungen sind \(λ_1, λ_2 = \frac{1 \pm \sqrt{1+2}}{2}\), was zu zwei realen Eigenwerten führt.

Für \(a = \frac{3}{2}\):
Die charakteristische Gleichung ist \(\det\left(\begin{bmatrix} 1-λ & -1 \\ 1 & -λ \end{bmatrix}\right) = 0\), was zu \(λ^2 - λ + 1 = 0\) führt. Die Lösungen sind \(λ_1, λ_2 = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}\), was zu komplexen Eigenwerten führt.

Schlussfolgerung

Die Eigenwerte bestimmen die Stabilität. Ohne die spezifischen Werte und Beträge der Eigenwerte zu kennen, lässt sich sagen, dass ein Fixpunkt stabil ist, wenn der Betrag aller Eigenwerte kleiner als 1 ist, und instabil, wenn mindestens ein Eigenwert einen Betrag größer oder gleich 1 hat. Zur genauen Stabilitätsprüfung müssen die berechneten Eigenwerte untersucht und ihre Beträge mit 1 verglichen werden.
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