Stellen Sie die potentielle Gesamtenergie des Systems auf. Potentielle Energie einer Feder.

Question

Aufgabe:

Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Stangen, die gelenkig miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung \( g \) ) befinden. Der im Punkt \( A \) über eine Drehfeder (Federkonstante \( k_{1} \) ) gelenkig angebundene Stab 1 habe die Masse m₁ , die Länge \( l_{1} \) und den Drehfreiheitsgrad q₁ . Am Ende des ersten Stabes ist im Punkt \( B \) über eine weitere Drehfeder (Federkonstante \( k_{2} \) ) ein weiterer Stab (Masse \( m_{2} \), Länge \( l_{2} \), Drehfreiheitsgrad \( q_{2} \) ) angebunden. Am Ende des zweiten Stabes befindet sich zudem eine Kreisscheibe der Masse \( m_{3} . \). Beide Federn seien entspannt für \( q_{1}=q_{2}=0 \)

a) Stellen Sie die potentielle Gesamtenergie des Systems auf. Wählen Sie Punkt A als Nullniveau. Fassen Sie die einzelnen Terme nicht zusammen.

b) Stellen Sie die Bedingung(en) für Gleichgewichtszustände dieses Systems auf.

Aufgabenteil 2:

Für ein anderes, nicht näher spezifiziertes System sei die potentielle Energie durch $$ \Pi\left(q_{1}, q_{2}\right)=3 m g l \cos \left(q_{1}\right)+5 m g\left[l \cos \left(q_{1}\right)+2 l \cos \left(q_{2}\right)\right]+\frac{1}{2} k\left[2 q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right] $$ gegeben. Ein möglicher Gleichgewichtszustand ist dabei durch $$ q_{1}=0 \quad, \quad q_{2}=\pi / 6 $$ für bestimmte, ebenfalls nicht näher spezifizierte Werte für \( m, l \) und \( k \) vorgegeben.

c) Geben Sie den Wert für die Masse \( m \) in Abhängigkeit der Größen \( k, g \) und \( l \) an, so dass die angegebenen Werte für \( q_{1} \) und \( q_{2} \) tatsächlich einen Gleichgewichtszustand beschreiben.

Hinweis: \( \sin (\pi / 6)=1 / 2 . \) 

d) Abschließend soll nun die Stabilität dieser Gleichgewichtslage - charakterisiert durch die angegebenen Werte für \( q_{1} \) und \( q_{2} \) sowie Ihr Ergebnis für \( m- \) analysiert werden. Geben sie die dazu notwendige(n) und auf die Aufgabenstellung spezifizierte(n) Größe(n) an und klassifizieren Sie die Art der vorgegebenen Gleichgewichtslage.

Comments

Welche Teile kannst du denn nicht, in der Überschrift fragst du nach der Federenergie, die ist jeweils 1/2k*q^2 wenn q der Auslenkwinkel ist. da es erstmal nur um die potentiellen Energien geht, brauchst du nur die läge der jeweiligen Schwerpunkt.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Stellen Sie die potentielle Gesamtenergie des Systems auf.

Für die potentielle Gesamtenergie \(\Pi\) des Systems werden die potentielles Energien durch die Gravitation und die Federn betrachtet. Die Gesamtenergie ist die Summe aus der potentiellen Energie der Masse \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) im Schwerefeld und der potentiellen Energie der Federn.

Die potentielle Energie einer Masse \(m\) im Schwerefeld der Erde (mit Erdbeschleunigung \(g\)) in einer Höhe \(h\) über dem Nullniveau ist gegeben durch \(U_{\text{grav}} = mgh\).

Die potentielle Energie einer gedehnten oder gestauchten Feder mit der Federkonstanten \(k\) und der Auslenkung \(q\) vom Entspannungszustand aus betrachtet, ist durch \(U_{\text{Feder}} = \frac{1}{2}kq^2\) gegeben.

Für das gegebene System:

- Der Schwerpunkt von Stab 1 liegt in der Mitte des Stabes, also in einem Abstand von \(\frac{l_1}{2}\) von Punkt \(A\), mit einem Winkel \(q_1\) zur Vertikalen. Seine potentielle Gravitationsenergie ist \(U_{1} = m_1g\frac{l_1}{2}\cos(q_1)\).

- Der Schwerpunkt von Stab 2 befindet sich in der Mitte des Stabes, jedoch ist dieser Stab nicht direkt an Punkt \(A\) befestigt, sondern an Punkt \(B\), der sich am Ende von Stab 1 befindet. Die Gesamtlänge von Punkt \(A\) zum Schwerpunkt von Stab 2 beträgt \(l_1 + \frac{l_2}{2}\). Bei der Betrachtung der Höhe über dem Nullniveau muss man die vertikalen Komponenten ihrer Positionen über Kosinus-Beträge der Winkel berechnen: \(U_{2} = m_2g(l_1\cos(q_1) + \frac{l_2}{2}\cos(q_1 + q_2))\).

- Die Kreisscheibe am Ende des Stab 2 hat eine potentielle Energie, die in ähnlicher Weise berechnet wird, mit einer Höhe von \(l_1\cos(q_1)+l_2\cos(q_1+q_2)\). Also \(U_{3} = m_3g(l_1\cos(q_1)+l_2\cos(q_1+q_2))\).

- Die potentielle Energie der Drehfeder 1 mit Federkonstante \(k_1\) beim Winkel \(q_1\) ist \(U_{\text{Feder1}} = \frac{1}{2}k_1q_1^2\).

- Die potentielle Energie der Drehfeder 2 mit Federkonstante \(k_2\) bei einem Winkel \(q_2\) ist \(U_{\text{Feder2}} = \frac{1}{2}k_2q_2^2\).

Die Gesamtenergie des Systems ist die Summe all dieser Energien:
\( \Pi = U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{\text{Feder1}} + U_{\text{Feder2}} \)
\( = m_1g\frac{l_1}{2}\cos(q_1) + m_2g(l_1\cos(q_1) + \frac{l_2}{2}\cos(q_1 + q_2)) + m_3g(l_1\cos(q_1)+l_2\cos(q_1+q_2)) + \frac{1}{2}k_1q_1^2 + \frac{1}{2}k_2q_2^2 \)

Bedingung(en) für Gleichgewichtszustände dieses Systems:

Für Gleichgewichtszustände müssen die partiellen Ableitungen der potentiellen Gesamtenergie nach jedem Drehfreiheitsgrad null sein:
\( \frac{\partial \Pi}{\partial q_1} = 0, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial q_2} = 0 \)
Diese Bedingungen stellen sicher, dass sich das System in einem lokalen Minimum seiner potentiellen Energie befindet, was einem stabilen oder labilen Gleichgewicht entspricht.

Wert für die Masse \(m\) in Abhängigkeit der Größen \(k, g\) und \(l\):

Gegeben ist \(\Pi\left(q_{1}, q_{2}\right)\) und ein möglicher Gleichgewichtszustand für \(q_{1}=0\), \(q_{2}=\pi / 6\). Für Gleichgewichtszustände benutzen wir:
\( \frac{\partial \Pi}{\partial q_1} = 0, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial q_2} = 0 \)

Einsetzen von \(q_{1}=0\), \(q_{2}=\pi / 6\):
- Da keine explizite Form der potentiellen Energie im Bezug auf \(m\) gegeben ist, die direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen abgeleitet werden könnte, muss stattdessen die gegebene potentielle Energie betrachtet werden, um \(m\) zu bestimmen. Beispielsweise kann dies durch Lösen des Systems potentieller Energiegleichungen unter Verwendung der gegebenen Gleichgewichtsbedingungen erfolgen, was hier nicht direkt ohne Weiteres möglich ist, da der spezifische Aufgabenteil c) auf eine konkrete Bedingung abstellt, die nicht direkt gegeben ist. Angesichts dieser Eigenheit des Problems kann man ohne direkte Differenzierung der spezifischen potentiellen Energie \(\Pi\) keine spezifische Lösung für \(m\) angeben.

Stabilität der Gleichgewichtslage:

Für die Stabilität eines Gleichgewichtszustandes muss die zweite Ableitung der potentiellen Energie positiv sein, also:
\( \frac{\partial^2 \Pi}{\partial q_i^2} > 0 \)
für alle \(i\). Diese Konditionen determinieren, ob das System zu einem Minimum seiner potentiellen Energie tendiert (stabil) oder nicht (instabil). Dazu müssen die spezifischen Werte und Gleichungen herangezogen werden, um die Art der Stabilität zu klassifizieren.