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Aufgabe:

a) Durch \( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c}{t} \\ {t^{2}}\end{array}\right), t \in[1,2], \) sei ein Draht parametrisiert. Seine Massendichte ist gegeben durch \( \rho(x, y)=x . \) Berechnen Sie die Gesamtmasse des Drahts.
b) Gegeben sind zwei Vektorfelder: Das elektrische Feld \( E: \mathbb{R}^{3} \mapsto \mathbb{R}^{3} \) und das magnetische Feld \( B: \mathbb{R}^{3} \mapsto \mathbb{R}^{3} . \) Ein geladenes Teilchen mit Ladung \( q \) bewege sich in diesen Feldern entlang der Kurve
$$ \gamma(t):[0, T] \mapsto \mathbb{R}^{3} $$
Dann ist die Lorentz-Kraft, die auf dieses Teilchen wirkt gegeben durch
$$ F=F_{\mathrm{el}}+F_{\mathrm{maq}}=q E+q \dot{\gamma} \times B $$
i) Zeigen Sie, dass das Magnetfeld keine Arbeit verrichtet.
ii) Sei das elektrische Feld gegeben durch
$$ E(\boldsymbol{x})=C \frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}} $$
und die Trajektorie des Teilchens durch
$$ \gamma(t)=\exp (-t)\left(\begin{array}{c} {\cos (2 \pi t)} \\ {\sin (2 \pi t)} \\ {0} \end{array}\right), \quad t \in[0, T] $$
Berechnen sie die Arbeit, die die Felder an dem Teilchen verrichten. Hinweis: Die Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral 2. Art: \( W =\int \limits_{\gamma} F \cdot d \gamma \)


Problem/Ansatz:

a) Hier habe ich versucht die Aufgabe mit folgendem Ansatz zu lösen: m=\( \int\limits_{1}^{2} \)ρ(γ(t))||γ`(t)|| dt.

Bekomme dann aber Probleme beim Aufleiten.

b) Hier gehe ich davon aus, dass der Weg oder die kraft =0 sein müssen. In diesem Fall wahrscheinlich der Weg.

Hilft es hier die Rotation zu bilden?

von

1 Antwort

+1 Daumen

Hallo

1. eigentlich ist das Integral doch einfach? zu integrieren t*√(1+4t^2)

 was ist denn (1+4t^2))3/2 abgeleitet?

2, natürlich ist Arbeit bei kraft oder Weg =0 immer 0. aber du sollst ja auf beliebigem Weg die Arbeit berechnen  die Formel steht unten, die Kraft im B Feld oben, denk daran dass F und dγ Vektoren sind, da also ein Skalarprodukt steht! und die Kraftwirkung von B steht senkrecht auf v! bzw. γ'

von was willst du denn rot bestimmen?

Gruß lul

von 15 k

1. \( \int\limits_{1}^{2} \) (1+4t2)\( \frac{1}{2} \) = \( \frac{2}{3} \) (1+4t2)\( \frac{3}{2} \) \( \frac{1}{8t} \)  => \( \frac{1}{12t} \) (1+4t2)\(\frac{3}{2}\) mit den Grenzen 1 und 2 

2. Das Skalarprodukt ergibt 0 wenn beide Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Ich steh hier irgendwie auf dem Schlauch, weil ich das nicht richtig aufs Papier bekomme

Hallo

 dein Integral ist falsch! wie kommt das t in den Nenner ?

man leitet zur Kontrolle immer ab!

zu Papier bringen? schreib einfach das zu lösende Integral hin und zeige dass es 0 ist.

benutze γ' × B senkrecht auf B und γ' und γ' tangential an γ also parallel zu dγ

Gruß lul

Die innere Ableitung ergibt 8t oder irre ich mich, deshalb habe ich den Term 1/8t hinzugefügt.

hallo

 dass die innere Ableitung t ergibt ist ja das gute, du willst doch t*√(1+4t^2) integrieren (t ist die Dichte) und nicht √(1+4t^2)

dafür wäre es auch falsch, wie du am Ableiten siehst! du kannst nur Zahlenfaktoren so korrigieren.

lul

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