Volumenarbeit und Wellenarbeit integrieren

Question

Aufgabe:  $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} U}{d \tau} &=\dot{W} \\ U_{2}-U_{1} &=W_{\mathrm{W}}-W_{\mathrm{V}, \mathrm{ab}} \end{aligned} $$

Problem/Ansatz:

Ich soll hier die Änderung der Inneren Energie ausrechnen. Wenn ich jetzt beide Seiten integriere von Zustand 1 bis Zustand 2, woher weiß ich welche delta hinter das Integral kommen?

Bei der inneren Energie integriere ich ja über die Zeit, also dT und dann bleibt im Integral Delta U stehen -> U2-U1.

Die Wellenarbeit Ww ist ja in Nm/min gegeben und wird dann auch über die Zeit dT integriert.

Die Volumenarbeit Wv hängt berechnet sich hier zu - p * dV. Wie würde ich das ausgeschrieben schreiben wenn ich über die Zeit integriere? Oder integriere ich dann über die Änderung des Volumens (in diesem Zeitraum).

Meine Frage ist: Wenn ich eine Gleichung allgemein über die Zeit integriere, welche dX schreibe ich dann hinter die Integrale? Die sich in dieser Zeit verändernden Größen ?

Answer 1

Hallo equinox,

da geht einiges durcheinander. Die Einheit Nm/min ist eine Einheit für Leistung, also Energie pro Zeit.

Wenn ich jetzt beide Seiten integriere von Zustand 1 bis Zustand 2, woher weiß ich welche delta hinter das Integral kommen?

Ein Integral kannst Du als eine Summe von vielen kleinen Produkten betrachten. Der eine Faktor des Produkts ist hier die Leistung zu einem bestimmten Zeitpunkt. Der andere Faktor ist das \(\text{d}t\). Das Ergebnis eines Produkts aus Leistung mal Zeit ist Energie bzw. Arbeit, die mit dem Zeichen \(W\) benannt wird.

Das heißt, das Delta hinter dem Integral ist immer der Faktor, mit dem man den aktuellen Wert dessen, was hinter dem Integralzeichen steht, multiplizieren muss, um zu dem Produkt - hier der Arbeit - zu kommen.

In Deinem Fall stehen \(U\) und \(W\) für Energien, und \(\dot W\) ist eine Leistung, die sich naturgemäß mit der Zeit auch ändern kann.

Die Volumenarbeit, also die Energie die ein unter einem Druck \(p\) stehendes Gas enthält, erhält man als Produkt aus dem Druck \(p\) und einem Volumen \(V\) oder eben auch \(\text{d}V\), wenn der Druck innerhalb des betrachteten Volumens nicht konstant ist. Dann ist$$W_V = \int_{V_1}^{V_2} p\, \text{d}V$$D.h. man summiert über alle kleinen Volumen \(\text{d}V\) das Produkt aus \(p\) und \(\text{d}V\) auf, und erhält die Gesamtenergie des Volumens.

Schau Dir dazu das Bild rechts auf der Seite über Volumenarbeit an. Jedes \(\text{d}V\) entspricht einer Scheibe in dem dargestellten Zylinder.

Gruß Werner