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Aufgabe:


Es geht um gleichförmige Kreisbewegung.
Hierzu nimmt man oft Kugel oder Zylinderkoordinaten wenn ich mich nicht täusche.
Die Sache ist aber, dass in einem Buch steht:
$$ x= R*cos(ωt) \\ y= R*sin(ωt) \\ z=0 $$
\(|v| = \sqrt{ \dot{{x}^{2}} + \dot{{y}^{2}} + \dot{{z}^{2}} } = R*ω \)


Frage1:

Was bedeutet überhaupt die Gleichung \(
x= R*cos(ωt) \) ?


Ja, dass es die x-Komponente vom Ortsvektor in Abhängigkeit von Zeit ist, weiss ich.
Dass der Vektor nach \(t\) abgeleitet die Geschwindigkeit \(v\) ergibt weiss ich auch.

Frage2:
Aber die Frage ist, ob diese Gleichungen oben \(x,y,z\) speziell für entweder das Kartesische Koordinatensystem , das Kugel- oder Zilynderkoordinatensystem sind. Ich sehe nicht, wohin ich muss um diese Gleichungen gut zu verstehen.



von

1 Antwort

+1 Daumen

Hallo

 im ganz gewöhnlichen Koordinatensystem bewegt sich ein Punkt mit gleichförmiger Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis mit Radius R. Dann ist seine x Koordinate in jedem Moment durch x=R*cos(ω*t) gegeben,  wenn der Punkt sich bei t=0 bei (R,0) sein Bahngeschwindigkeit ist |v|= R*ω was man auch aus √(x'^2+y'^2) errechnen kann.

aber du sagst ja. dass du das weisst. wie kannst du von der x-Komponente des Ortsvektors reden ausser im kartesischen System?

in Polar Koordinaten wäre das r=R , φ=ω*t

 und da du in einer Ebene bist machen weder Kugel- noch Zylinderkoordinaten Sinn.

zeichne es einfach mal auf oder fahr mit deinem Finger gleichmäßig um nen Teller unter den du ein Koordinatensystem gezeichnet hast.

Gruß lul

von 13 k

Vielen Dank ! :)

Also das mit der Trigonometrie habe ich jetzt verstanden. Wenn der Mittelpunkt des Kreises gleich dem Ursprung ist und der Radius des Kreises \(R\) ist, bewegt sich der Massenpunkt eben auf diesem Kreis:

$$x^{2} + y^{2} = R^{2}$$


Polarkoordinaten:

Bei Polarkoordinatem beschreiben wir ähnlich wie in meiner Fragestellung einen Punkt \(P (x/y) \) durch:


Einen Radius \(R\) (dieser sieht aus wie der Ortsvektor zum Punkt \(P.\) )

Und einen Winkel \(\phi\) zwischen \(R\) und x-Achse.

und da ist \(x\) bzw. \(y\) definiert als;

\(x = cos(\phi)*R\)

\(y = sin(\phi)*R\)


Rückfrage1:

Was ich aber noch nicht sehe, ist weswegen \(\phi\) = \(\omega*t\) ist. Denn  \(\omega*t\) beschreibt doch keinen Winkel... oder schon ?


Gruss limonade

ω ist die Winkelgeschwindigkeit

ω = φ/t  →   φ = ω·t   ist ein Winkel  (im Bogenmaß)

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