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Berechnung des Verhältnisses
Um das Verhältnis der elektrostatischen Anziehungskraft zur Gravitationskraft zwischen einem Proton und einem Elektron zu bestimmen, müssen wir beide Kräfte berechnen.
Elektrostatische Anziehungskraft (Coulomb-Kraft):
Die Formel für die elektrostatische Anziehungskraft (\(F_{elektro}\)) lautet:
\(
F_{elektro} = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}
\)
wobei \(k\) die Coulomb-Konstante (\(8,987 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\)), \(q_1\) und \(q_2\) die Ladungen der beiden Teilchen (hier Proton und Elektron, beide etwa \(1,602 \times 10^{-19}\) C in Betrag, aber entgegengesetzt in Vorzeichen) und \(r\) der Abstand zwischen den Teilchen ist. Gegeben wurde \(r = 10^{-10}\) m.
Wir können einsetzen:
\(
F_{elektro} = 8,987 \times 10^9 \frac{ (1,602 \times 10^{-19})^2}{(10^{-10})^2}
\)
\(
= 8,987 \times 10^9 \cdot \frac{2,56 \times 10^{-38}}{10^{-20}}
\)
\(
= 8,987 \times 10^9 \cdot 2,56 \times 10^{-18}
\)
\(
= 2,299 \times 10^{-8} \, \text{N}
\)
Gravitationskraft:
Die Formel für die Gravitationskraft (\(F_{grav}\)) ist gegeben durch:
\(
F_{grav} = G \frac{m_p \cdot m_e}{r^2}
\)
wobei \(G\) die Gravitationskonstante (\(6,674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2\)), \(m_p\) die Masse des Protons (\(1,7 \times 10^{-27}\) kg) und \(m_e\) die Masse des Elektrons (\(9,1 \times 10^{-31}\) kg) ist.
Einsetzend erhalten wir:
\(
F_{grav} = 6,674 \times 10^{-11} \frac{(1,7 \times 10^{-27}) \cdot (9,1 \times 10^{-31})}{(10^{-10})^2}
\)
\(
= 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{15,47 \times 10^{-58}}{10^{-20}}
\)
\(
= 6,674 \times 10^{-11} \cdot 1,547 \times 10^{-38}
\)
\(
= 1,033 \times 10^{-48} \, \text{N}
\)
Verhältnis der elektrostatischen Anziehungskraft zur Gravitationskraft:
\(
\text{Verhältnis} = \frac{F_{elektro}}{F_{grav}}
\)
\(
= \frac{2,299 \times 10^{-8}}{1,033 \times 10^{-48}}
\)
\(
= 2,224 \times 10^{40}
\)
Abhängigkeit vom Abstand:
Das Verhältnis der elektrostatischen Anziehungskraft zur Gravitationskraft hängt nicht vom Abstand der Teilchen ab. In beiden Formeln (\(F_{elektro}\) und \(F_{grav}\)) erscheint der Abstand \(r\) im Nenner quadriert. Wenn sich der Abstand ändert, ändern sich beide Kräfte proportional zu \(1/r^2\), sodass das Verhältnis dieser beiden Kräfte unverändert bleibt. Das Verhältnis ist also unabhängig vom spezifischen Abstand der beiden geladenen Teilchen.
