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Folgende Aufgabe verstehe ich nicht. Was ist da überhaupt gesucht? Soll ich Geschwindigkeit von der Zeit abhängig machen oder die Auslenkung?

Ein rotierendes Federpendel: Ein zylindrisches Hohlrohr möge mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0 in einer horizontalen Ebene rotieren. In dem Rohr befindet sich ein Federpendel mit Masse m, Federkonstante c und Länge I im entspannten Zustand. Reibungskräfte können hier vernachlässigt werden. Zum Zeitpunkt t = 0 hat das Federpendel die Auslenkung und ist relativ zum Rohr in Ruhe.

rotierendes-federpendel.jpg

a) Modellieren Sie die oben beschriebene Situation ais Anfangswertprobiem. Hinweis: Berücksichtigen Sie die Zentrifugalkraft sowie die Rückstellkraft der Feder und benutzen Sie das 'Newton'sche Grundgesetz". Die Rückstellkraft darf dabei als "stärker" als die Zentrifugalkraft angenommen werden.

b) Lösen Sie das AWP.

von

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Hallo,

die Zentrifugalkraft beträgt

\( F_Z = m \omega^2 x \).

Die Federkraft beträgt

\( F_c = - c x \).

Das Vorzeichen bedeutet, dass die Federkraft in die entgegengesetzte Richtung wirkt wie die Zentrifugalkraft.

Glücklicherweise sind beide Kräfte linear in \( x \), sodass die Kräftebilanz nachdem sie als

\( F_{gesamt} = F_Z + F_c \),

beziehungsweise

\( m a = m \omega^2 x - c x \)

geschrieben wird, vereinfacht werden kann zu:

\( m \ddot{x} = (m \omega^2 - c) x \) (Linearität in \( x \) zur Vereinfachung ausgenutzt).

Das heißt, die beiden Kräfte können als eine einzige resultierende Federkraft im betrachteten Bezugssystem gedeutet werden. Somit vereinfacht sich die Problemstellung zum klassischen ungedämpften Oszillator:

\( m \ddot{x} = - K x \)

mit \( K \equiv c - m \omega^2 > 0 \).

Die Positivität folgt aus der vereinfachenden Annahme \( F_c > F_Z \), bzw. \( c > m \omega^2 \) in der Aufgabenstellung.

Umgestellt heißt diese Differentialgleichung:

\( \ddot{x} = - \frac{K}{m} x \ \ \ \) (*).

Sie hat die allbekannten Lösungen

\( x = C_1 \sin\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) \) oder

\( x = C_2 \cos\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) \)

mit freien Parametern \( C_1 \) und \( C_2 \). Auch die Summe dieser Lösungen

\( x = C_1 \sin\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) + C_2 \cos\left(\sqrt{\frac{K}{M}} t \right) \)

ist eine Lösung (da (*) es eine lineare Differentialgleichung ist).

Die Parameter \( C_1 \) und \( C_2 \) folgen dann aus den Anfangsbedingungen \( v(0) = v_0 = 0 \) ("relativ zum Rohr in Ruhe") und \( x(0) = x_0 \). Daraus muss folgen, dass \( C_1 = 0 \) und \( C_2 = x_0 \) ist (kann man anhand des Verlaufes der Sinus- und Kosinusfunktion erkennen).

Es muss

MfG

Mister
von

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