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Physik-Aufgabe rund um das Thema Resonanz, Schwingungen und das Fadenpendel:

Man betrachte einen PKW als Federpendel mit \( m=1000 \mathrm{~kg} \) und \( \mathrm{k}=10^{8} \) \( \mathrm{N} / \mathrm{m} \). Bei welcher Fahrgeschwindigkeit tritt auf dem skizzierten Kopfsteinpflaster \( (\mathrm{d}=20 \mathrm{~cm}) \) Resonanz auf? Periodendauer T der PKW-Federung:

Dies ist auch genau die Zeit, die der PKW bratcht, um die Strecke d zurückzulegen.

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Bestimmung der Resonanzfahrgeschwindigkeit

Zuerst müssen wir die Eigenfrequenz \( f_0 \) des PKW als Federpendel berechnen. Die Formel für die Eigenfrequenz \( f_0 \) eines Federpendels mit der Masse \( m \) und der Federkonstante \( k \) lautet:

\( f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \)

Mit \( k = 10^8 \) N/m und \( m = 1000 \) kg eingesetzt:

\( f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{10^8}{1000}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{10^5} = \frac{1}{2\pi} \cdot 316,23 \approx \frac{316,23}{6,28} \approx 50,33 \mathrm{~Hz} \)

Diese Frequenz entspricht der Eigenfrequenz des PKWs.

Als Nächstes bestimmen wir die Fahrgeschwindigkeit \( v \) des PKWs bei Resonanz. Dafür müssen wir verstehen, dass Resonanz auftritt, wenn die Frequenz der externen Anregung (das Kopfsteinpflaster in diesem Fall) mit der Eigenfrequenz des Systems (also des PKWs) übereinstimmt. Das bedeutet, dass die Entfernung, die der PKW während eines Schwingungszyklus zurücklegt – also die Wellenlänge der Anregung \( \lambda \) – gleich der Strecke zwischen zwei Kopfsteinen \( d \) sein muss. Die Frequenz \( f \) der Anregung durch das Kopfsteinpflaster lässt sich mit der Formel \( f = \frac{v}{\lambda} \) bestimmen.

Da \( \lambda = d = 20 \) cm = 0,2 m und \( f = f_0 = 50,33 \) Hz, können wir nun die Geschwindigkeit \( v \) berechnen:

\( v = f \cdot \lambda = 50,33 \mathrm{~Hz} \cdot 0,2 \mathrm{~m} = 10,066 \mathrm{~m/s} \)

Das bedeutet, der PKW müsste mit einer Geschwindigkeit von ca. \( 10,066 \) m/s (ungefähr 36,24 km/h) über das Kopfsteinpflaster fahren, um Resonanz zu erfahren.
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