Rechnungen mit dem Federschwinger

Question

Aufgabe über Rechnungen mit dem Federschwinger ist gegeben:

Ein Federschwinger der Masse \( \mathrm{m}=0,2 \mathrm{~kg} \) führt die im Diagramm dargestellte Schwingung aus.
a) Lesen Sie die Amplitude A und die Frequenz \( f \) der Schwingung ab, und berechnen Sie damit die Kreisfrequenz \( \omega \) und die Federkonstante D!
b) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit \( \mathrm{v}_{\max } \) der Masse, und bei welcher Auslenkung wird sie erreicht?
c) Berechnen Sie jeweils die Gesamtenergie des Federschwingers für eine Auslenkung von \( 0 \mathrm{~cm} \) und von \( 2 \mathrm{~cm} \).

Wie immer gibt es Lösungsansätze, die korrigiert werden müssen. Diesmal habe ich Schwierigkeiten.

Grüße Mountain_lion

gegeben:
m=0,2kg

gesucht:
ω
D
v_max
E_Ges

Lösungsansätze:
\( \begin{array}{l} f=\frac{\omega}{2 \pi}=x \mathrm{~Hz} \\ f=\frac{\omega}{2 \pi}=x \mathrm{~Hz} \\ f=\frac{1}{T} \text { [T:Periodendauer] } \\ f=\frac{1}{2}=0,5 \mathrm{~Hz} \\ \omega=\sqrt{\frac{D}{m}} \\ \omega=\frac{0,1 \mathrm{~N}}{2 \mathrm{~cm} \times \mathrm{kg}}=2 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \end{array} \)

Kreisfrequenz:
\( \begin{array}{l} \omega_{0}=2 \pi * f_{0} \\ \omega_{0}=2 \pi * 0,5=\pi \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \cong 3,14159 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \end{array} \)
c)
\( E_{G e s}=E_{\text {Kin }}+E_{P o t} \)

- Elongation:
\( z(t)=A \cdot \cos \left(\omega_{0} \cdot t\right) \)
- potentielle Energie:
\( E_{P O T}(t)=\frac{1}{2} D \cdot z^{2}(t) \)
- kinetische Energie:
\( E_{K I N}(t)=\frac{1}{\mathbf{2}} \boldsymbol{m} \cdot \dot{z}^{2}(t) \)
- Gesamtenergie:
\( \begin{aligned} E_{G E S}(t) & =\frac{1}{2} D \cdot A^{2} \\ & =\frac{1}{2} m \cdot \omega_{0}^{2} \cdot A^{2} \end{aligned} \)

Answer 1

zu a)

Ablesen:

Amplitude A = maximaler senkrechter Abstand zur Zeitachse -> A = 2 cm

Zeitkonstant (Periodendauer) T = Intervall, wo ein Körper wieder den Ausgangszustand durchläuft -> T = 2 s

ω =2*π/T = π 1/s und aus ω = √(D/m) folgt D = ω²*m = (π 1/s)² *0,2 kg = 0,2*π² kg/s²

zu b) Kann man entweder anschaulich oder knallhart rechnerisch lösen:

Rechnerisch: Bewegungsgleichung (für den Weg in Abhängigkeit von der Zeit) ist x(t) = A*cos(ω*t)

Wenn man den Weg nach der Zeit ableitet, bekommt man die Geschwindigkeit -> x'(t) = -A*ω*sin(ω*t)

Das kann man Null setzen, ob ein Extrema (notwendiges Kriterium) zu ermitteln -> -A*ω*sin(ω*t) = 0

-> sin(ω*t) = 0 -> ω*t = k*π für k = 0, 1, 2, 3 ...

Mit ω = π 1/s folgt t = k für k = 0, 1, 2, 3 ...

Nun müssen wir noch schauen, ob das wirklich ein Maximum ergibt mit der 2. Ableitung

x''(t) = -A*ω²*cos(ω*t) < 0 -> Max.

Die maximale Geschwindigkeit wird bei der maximalen Auslenkung (hier: 2 cm) erreicht.

zu c) Eges = 0,5*D*Auslenkung²

Eges(bei Auslenkung = 0 m) = 0

Eges(bei Auslenkung = 0,02 m) = 0,5*0,2*π² kg/s²*0,02² m² = ... J

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Unterstützung! Ich werde jeden Schritt durchgehen, damit ich lernen kann wie man mit Federschwinger Rechnungen umgeht. Die Gesamtenergie des Federschwingers von eine Auslenkung von 0 bis 2cm beträgt etwa 0,00039478 J. Für deine Mühe gibt es für dich einen Punkt und einen Stern!