Stromversorgungsproblem

Question

Hallo Zusammen

Ich suche eine Formel.

Problem aus der praktischen Elektrotechnik.

Quelle 230V  fix

kabel zwischen 1 - 10 Ohm

Verbraucher 100W fix

Gesucht Uv Spannung am Verbraucher

Achtung sieht einfacher aus als es ist.

U  --------------------[   R    ] ------------ P

-------------------------------------------------

Formel

U=Spannung

R=Widerstand  ganze Leitung

P=Leistung

P=U•I      U=R•I

So mal schauen ob einer eine Idee hat.

Jedes Mal wenn ich es mit jemanden Bespreche läuft es gleich. "Ist doch leicht" 10min später "Mindfuck Error"

Comments

$$U=\sqrt{P\cdot R}$$Vielleicht kommst du damit weiter.

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Nein leider den U. ist die Quelle

R ist der Leitungswiderstand

P ist der konstanter Leistungsverbraucher

I IST bei allen gleich

Es sind drei getrennte Bauteile

Leistungsverbraucher 100W hat bei R=0

U=230 V

I gerechnet 0.43A

Sobald jedoch der Leitungswiderstand erhöht (zB 10 Ohm) wird ergibt sich eine doofe Situation da ein Strom einen Spannungsabfall über R macht sinkt die Spannung am Verbraucher.

U(Quelle) - U (Widerstand) = U (verbraucher)

Da der Verbraucher nun weniger Spannung hat steigt dank dem Konstanten Verbrauch der Strom P= U•I an was natürlich einen grösseren Spannungsabfall an R ergibt was wieder die Spannung am Verbraucher senkt was dann einen wiederum erhöhten Strom ergibt............

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Kenne mich jetzt nicht so gut aus, was spricht gegen das Gleichungsystem:

$$ 230V = R\cdot I + U_v $$

$$ 100W = U_v \cdot I $$

?

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Nein leider

Ja, das ist mir dann auch aufgefallen.

Der Ansatz von EmNero sieht aber vielversprechend aus.

Answer 1

Hallo,

mit den gegebenen Werten und der Substitutionsvariablen Z = R_V / R_K  lässt sich ein Gleichungssystem entwickeln und daraus folgende Gleichung aufstellen:

U_RL = 230V • Z / (1-Z)

R_K = Kabelwiderstand

R_V = Verbraucherwiderstand

Damit lässt sich U_RL in den gegebenen Grenzen ausrechnen:

Für R_V = 1Ω wird U_RL ≈ 0,46V

Für R_V = 10Ω wird U_RL ≈ 4,45V

Gruß von hightech

Comments

Hallo Hightech

Danke für Deinen Versuch aber das Verflixte Leider ist uns ja Rv erst bekannt wenn wir Ihn über die Spannung oder den Strom berechnen können. Wir haben beim Verbraucher ja nur das P = Uhoch2/Rv oder Uv•I oder Ihoch2•Rv

Den Widerstand den die Quelle sieht ist Rk+Rv

Je höher der Rk je kleiner der der Rv  da die Leistung konstant ist.

zB

Rv = Rk=132  Ohm

Uk=Uv 115 V

I=0.869A

Oder

Rk=0 Rv = 529 Ohm

Uk=0 Uv=230V

I= 0.43478

Kleine Hilfe für nicht elektrifizierte.

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Hallo Digitalwallis,

in Deiner Rechnung rechnest Du plötzlich mit R_K = 0 bzw. R_K = 115Ω.

Das widerspricht Deinen Angaben im Aufgabentext! Dort schreibst Du, dass R_K sich nur zwischen 1Ω und 10Ω bewegen kann! Deshalb ist Deine Rechnung falsch.

In meiner Rechnung habe 2 Werte beispielhaft angegeben, und zwar für die beiden Extremwerte R_K = 1Ω und R_K = 10Ω. Die dazugehörigen Spannungswerte U_RL sind richtig. Aber auch für jeden anderen Wert von R_K von 2Ω, 3Ω, 4Ω usw. lässt sich die Spannung U_RL mit der von mir angegebnen Formel berechnen.

Du kannst ja die von mir angegebnen Werte mal nachrechnen.

Wie gesagt: Deine Rechnung steht im Widerspruch zu den Werten von R_K im Aufgabentext.

Gruß von hightech

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Hallo Hightech, Danke für Deine Geduld.

Ja da hast Du recht ich wollte nur eine extremes Beispiel aufzeigen. Rk bewegt sich Normalerweise nicht in diesem Bereich es wäre sehr unökologisch ;)

Was mir nicht klar ist wie kommst Du auf Rv ?  Ich verstehe es nicht Sorry

Skizze

Gruss Dani

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Hallo Dani,

mir ist eine Schreibfehler unterlaufen: R_V sollte R_K bedeuten, also der Kabelwiderstand. R_V bedeutet der Verbraucherwiderstand.

Also nochmals die beiden Zeilen in meiner Rechnung:

Für R_K = 1Ω wir U_RL ≈ 0,46V

Für R_K = 10Ω wird U_RL ≈ 4,45V

Nun zu Deiner Frage, wie man das ausrechnet:

Zunächst stellt man folgende beiden Gleichungen auf:

U_RK = R_k • U_RV / R_V  und  U_RK = 230V − U_RV

durch Gleichsetzen und Umformen erhält man

R_V / R_K = U_RV / (230V − U_RV )

durch Substitution die Hilfsvariable Z einführen:  Z = R_V / R_K und in die Gleichung einsetzen:

U_RV = f(z) = 230V • Z / (1−Z)

Der Graph dieser Funktion zeigt das Bild

Für R_K = 1Ω wird Z ≈ 0,002 und damit R_V = 0,002124Ω und damit U_RV ≈ 0,46V

Für R_K = 10Ω wird Z ≈ 0,019 und damit R_V = 0,19843Ω und damit U_RV ≈ 4,45V

Für beliebige Werte für R_K zwischen 1Ω und 10Ω kann man die Z-Werte entprechend ablesen.

Hinweis: Diese Werte sind absolut realitätsfremd und haben mit der realen Technik nichts zu tun! Aber darauf kam es ja nicht an, sondern darauf, dass es mathematisch richtig ist.

Alles klar?

Gruß von hightech

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Hallo,

alternativ zu der Berechnung oben gibt es noch eine andere Möglichkeit die Spannung am Verbraucherwiderstand R_V zu berechnen.

Vorher aber noch ein Hinweis:

In der Berechnung oben hat sich eine kleine Verwechslung eingeschlichen. Das Bild zeigt den Zusammenhang von Kabelwiderstand R_K und der Hilfsvariablen Z, also nicht von Verbraucherspannung U_RV und Hilfsvariablen Z. Deshalb ist der Satz über dem Bild "Der Graph dieser Funktion zeigt das Bild" falsch.

Hier nun der alternative Rechenweg zur Bestimmung der Verbraucherspannung U_RV .

Ausgegangen wird wieder von den folgenden beiden Gleichungen

Gleichung 1:   U_RK = R_K • U_RV / R_V

Gleichung 2:   U_RK = 230V − U_RV

  R_K   Kabelwiderstand

  R_V   Verbraucherwiderstand

  U_RK  Spannung über dem Kabelwiderstand

  U_RV  Spannung über dem Verbraucherwiderstand

Durch Gleichsetzen von U_RK aus Gleichung 1 und Gleichung 2 und auflösen nach U_RV erhält man Gleichung 3:

Gleichung 3:   U_RV = 230V • R_V /R_K − U_RV • R_V /R_K

Die Leistung im Verbraucherwiderstand errechnet sich zu

  P_RV = U²_RV /R_V   diese Formel umgestellt nach R_V

  R_V = U²_RV / P_RV   setzt man R_V in Gleichung 3 ein, erhält man Gleichung 4

Gleichung 4:   U_RV = 230V • (U²_RV / P_RV) / R_K − U_RV • (U²_RV / P_RV ) / R_V

Löst man diese Gleichung nach U_RV auf und setzt für P_RV den Wert von 100W ein, erhält man Gleichung 5:

Gleichung 5:   U_RV = 115V − ✓¯(115V² − 100W • R_K )

Hinweis: das Wurzelzeichen geht über die Klammer hinweg.

Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang von Verbraucherspannung U_RV in Abhängigkeit vom Kabelwiderstand R_K . Der Graph dieser Funktion zeigt das Bild.

Verbraucherspanng U_RV als Funktion von Kabelwiderstand R_K .

Rot eingezeichnet sind Werte für Kabelwiderstände 1Ω und 10Ω. Zusätzlich ist als Beispiel ist die Verbraucherspannung bei einem Kabelwiderstand von 4Ω.

Hier die Werte:

bei R_K = 1Ω beträgt U_RV = 0,436V

bei R_K = 4Ω beträgt U_RV = 1,752V

bei R_K = 10Ω beträgt U_RV = 4,433V

Auf den ersten Blick scheint diese Kennlinie eine Gerade zu sein. Tatsächlich handelt es sich um ein Wurzelfunktion. Man kann das überprüfen, indem man in Gleichung 5 für R_K Werte zwischen 50Ω und 100Ω einsetzt und U_RV ausrechnet. Die Krümmung der Kurve ist dann deutlich zu erkennen.

Gruß von hightech