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Mit Hilfe eines Kondensators kann man in einem Gleichstromkreis elektrische Ladungen speichern. Während des Aufladevirganges gilt für die elektrische Ladung Q in Coloumb (C) zum zeitpunkt t>0(größer gleich 0) in Sekunden (s):Q(t)=1,2 x 10^-3 x (1-e^-t/5). DIE Stromstärke I(t) wird in Amoere (A) gemessen und gibt die Änderungsgeschwindigkeit der elektrischen Ladung an.

a) Berechne I(t) (ich bekomme ganze Zeit was falsches raus deswegen würd ich gern den Rechenweg wissen um auf den Fehler drauf zu kommen)

b) Interpretiere die Bedeutung Q‘‘(t) im Kontext. (Meine frage ist da wie die zweite Ableitung funktioniert bzw lautet)

c) Interpretiere die Vorzeichen von Q(t), Q‘(t) und Q‘‘(t). (Welche Vorzeichne, also wann weiß ich wo und wann ich kleiner bzw größer 0 anwenden soll?)

Bei den Lösungen habe ich für c Q(t)>0 die Ladung ist positiv

Q‘(t)>0 die Stromstärke ist positiv die Ladung nimmt zu.

Q‘‘(t)<0 die Änderung der momentanen ladungsänderung ist negativ. Die momentane Änderung der Stromstärke ist negativ . Die Stromstärke kommt momentan ab.

Wieso habe ich bei Q(t) und der ersten Ableitung >0 und bei der zweiten Ableitung dann <0?

Wäre dankbar für eure Hilfe!

von

1 Antwort

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Hallo Lisa,

Die Gleichung für die Ladung des Kondensators über der Zeit hast du gegeben mit

$$Q(t) = 1,2 \cdot 10^{-3} (1 - e^{\frac{-t}{5s}}) \text{C}$$ ich habe jetzt mal unterstellt, dass hinter der \(5\) im Exponenten noch die Zeiteinheit \(\text{s}\) für Sekunden steht! Die Ableitung der Ladung nach der Zeit gibt den Strom der in oder aus dem Kondensator fließt. Es ist:

$$\dot Q(t) = I(t) = 1,2 \cdot 10^{-3}\cdot \frac{1}{5\text{s}} e^{\frac{-t}{5s}} \text{C} = 0,24 \cdot e^{\frac{-t}{5s}} \text{mA}$$ Die Einheit \(C/s\) gibt Ampere \(A\) und die \(10^{-3}\) habe ich durch den Vorsatz \(\text{m}\) für 'milli' ersetzt.

zu b): beachte die Kettenregel wie auch schon bei der ersten Ableitung $$\ddot Q(t) = -0,048 \cdot e^{\frac{-t}{5s}} \frac{\text{mA}}{\text{s}}$$

zu c): unabhängig von \(t\) haben die Größen \(Q(t)\), \(\dot Q(t)\) und \(\ddot Q(t)\) immer das gleiche Vorzeichen, da der Ausdruck \(e^x\) immer positiv ist für alle \(x\). \(Q(0)=0\) und wächst ab da an bis zu einem Wert von \(1,2 \text{mC}\), da \(t \ge 0\), ist also immer positiv. Die Stromstärke genauso, folglich wird der Kondensator geladen - das hast Du richtig erkannt. \(\ddot Q(t)\) ist negativ - was heißt, dass die Stromstärke stetig zurück geht, bis sie beliebig klein wird, aber nie auf oder unter 0 geht. In der Praxis wird man das aber nicht nachmessen können.

"Wieso habe ich bei Q(t) und der ersten Ableitung >0 und bei der zweiten Ableitung dann <0?" Na ja - warum nicht? Wenn Du Dir überlegst, was hier physikalisch passiert macht das alles Sinn (s.o.).

Gruß Werner

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