Trägheitsmoment an einer Rolle mit Gewichten

Question

Hi, gegeben ist eine befestigte Rolle  mit einem eingespannten Seil an welchen Enden jeweils ein Gewicht hängt mit den Massen m1=500g und m2=460g
Die Rolle hat einen radius r=5cm

Nach loslassen der Gewichte soll m1 nach 5 Sekunden sich um 75cm nach unten bewegt haben.

Bereits berechnet (und richtig):

a= 0,06 m/s²

Spannung auf der Seite des Seils von m1= 4,875N

von m2= 4,540N

Die Winkelbeschleunigung = 1,2 s^-2

Nun ist die letzte Frage das Trägheitsmoment zu bestimmen, ich schau in meine schlaue Liste und sehe eine Formel für das Trägheitsmoment eines Ringes: I=mr²

setzte ich dafür ein, und ich nehme für m = m1-m2, dann bekomme ich 0,0001kgm² heraus.

In der Lösung ist das ganze mit einer anderen Formel gemacht worden: M = I * Winkelbeschleunigung, umgestellt nach I und für M = F * r eingesetzt liefert sie das Ergebnis 0,014kgm²

Da dies in den Lösungen stand vermute ich mal meine Formel ist falsch oder nicht anwendbar (I =mr²)

Aber woran liegt das? kann ich nicht von einem Ring ausgehen? oder muss ich die Masse des Rings benutzen? (die nicht gegeben war) Oder etwas ganz anderes?

Answer 1

Hallo und guten Abend,

Du schreibst "und sehe eine Formel für das Trägheitsmoment eines Ringes: I=mr^2" Wie sich das Trägheitsmoment aus dem Aufbau der Rolle ergibt ist erstens irrelevant und zweitens kannst Du das aus den Angaben auch nicht bestimmen. Es kommt nur darauf an, wie groß der Wert des Trägheitsmoments \(I_R\) ist.

"und ich nehme für m = m1-m2" dies ist völlig willkürlich. Wie kommst Du darauf?

Die Rolle mit dem Trägheitsmoment \(I_R\) wird beschleunigt mit $$M = \dot \omega \cdot I_R$$ Das Moment \(M\), welches die Rolle beschleunigt, ist Kraft \(F_R\) (aus dem Seil) mal Hebel (dem Radius)  - also $$M = F_R \cdot r \quad \Rightarrow F_R= \frac{M}{r}$$ Die Kraft, die die Rolle beschleunigt, ist demnach $$F_R = \frac{\dot \omega \cdot I_R}{r}$$ Die Kraft \(F_G\), die die Gewichte beschleunigt ist $$F_G = (m_1 + m_2) \cdot a$$ Die Kraft, die alles beschleunigt, folgt aus der Differenz der Massen der Gewichte und der Erdbeschleunigung \(g\). Alles zusammen gibt $$(m_1 - m_2) \cdot g = \frac{\dot \omega \cdot I_R}{r} + (m_1 + m_2) \cdot a$$ Weiter gilt der Zusammenhang \(a = \dot \omega \cdot r\) $$(m_1 - m_2) \cdot g = \frac{a \cdot I_R}{r^2} + (m_1 + m_2) \cdot a$$ Umstellen und Einsetzen gibt $$I_R= \frac{r^2}{a} \left(  (m_1 - m_2) \cdot g - (m_1 + m_2) \cdot a\right) = 0,01395 \text{m}^2\text{kg}$$

Gruß Werner

Comments

Okay das hab ich verstanden, danke!