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Hallo,

ich habe die folgende aufgabe, die ich nicht hinbekomme und ich hoffe ihr könnt mir helfen:

Bild Mathematik

Hier noch einmal als Latex...

$$Fp(x,y,z)\quad =\quad (pyz+2x,xz-2y,xy)^{ T }$$

die Aufgabe hat noch einen zweiten Teil:

zeigen, dass Fp nur fur p = 1 ein Gradientenfeld ist.

mfg, danke im vorraus

von

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Hallo,

berechne die Rotation des Vektorfeldes. Ist diese =0 , so handelt es sich um ein Gradientenfeld.

Die Bestimmungsgleichung  für das Potential φ lautet grad(φ)=F1. Dies ergibt 3 Differentialgleichungen.

Eine dieser Gleichungen lautet z.B

∂φ/∂x=F1_x , also die x-Komponente des Vektorfeldes rechts stehend.

Integrieren gibt

φ=

(Stammfunktion von F1_x bezüglich x)+ C(y,z)

Bestimme dann mithilfe der anderen beiden Gleichungen den Term C(y,z)

von 2,3 k

alles klar leichter gesagt als getan xD... aber danke ich glaub das erste geht mit nabla und der zweite teil ist einfach integrieren und die integrationskonstante C irgendwie bestimmen, muss aber noch lernen wie das genau geht... ich schreibe meine lösungen spätestens morgen hier rein... hoffe du korrigierst sie dann :) die aufgabe hat aber noch b und c teil :/

Ja so ähnlich ;).

Vorhin konnte ich leider keine Rechnungen anfügen, daher habe ich nur grob den Weg skizziert.

zum Gradientenfeld:

Rotation berechnet sich gemäß

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes#Definition_der_Rotation_in_kartesischen_Koordinaten

Das gibt bei uns (für p=1)

$$ \begin{pmatrix} x-x\\y-y\\z-z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} $$,

passt also.

Zum Potential:

Die 3 entstehenden Gleichungen lauten:

$$ \frac { \partial\varphi }{ \partial x }=yz+2x\\\frac { \partial\varphi }{ \partial y }=xz-2y\\\frac { \partial\varphi }{ \partial z }=xy\\$$

man nimmt z.B die erste Gleichung zur Hand und integriert:

$$ \varphi(x,y,z) =yzx+x^2 +C(y,z) $$

Diese Teillösung setzt man nun in die zweite DGl links ein, um den y-Anteil der Konstante C(y,z)

zu bestimmen:

$$ \frac { \partial\varphi }{ \partial y }= xz-2y\\zx+C_{y}(y,z)=xz-2y\\C_{y}(y,z)=-2y\\C(y,z)=-y^2+D(z)\\\to \varphi (x,y,z)= yzx+x^2-y^2+D(z)\\$$

Nun geht man denselben Weg, um D(z) zu bestimmen, mithilfe der dritten DGL.

Glücklicherweise erfüllt unsere Teillösung diese DGL bereits, daher ist D(z)=D eine echte Konstante.

Lösung:

$$  \varphi (x,y,z)= yzx+x^2-y^2+D\\$$

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