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Berechnung der Arbeit im homogenen Kraftfeld
Um die Arbeit \(W\) zu berechnen, die erforderlich ist, um einen Körper in einem homogenen Kraftfeld zu bewegen, benutzen wir die Formel:
\(
W = \vec{F} \cdot \vec{s}
\)
wobei \(\vec{F}\) die Kraft ist, die auf den Körper wirkt, und \(\vec{s}\) die Verschiebung des Körpers darstellt. In einem homogenen Kraftfeld ist \(\vec{F}\) konstant.
Gegeben ist das Kraftfeld \(\vec{F} = (2, 6, 1)^T\) N und die Kurve \(\vec{r}(t) = \vec{r}_{0} + t \cdot \vec{e}_{x}\), wobei \(t\) der Parameter ist, der von 0 bis 2 variiert, \(\vec{r}_{0}\) der Anfangspunkt und \(\vec{e}_{x} = (1, 0, 0)^T\) der Einheitsvektor in x-Richtung ist.
Die Verschiebung \(\vec{s}\) ist einfach der Unterschied zwischen den End- und Anfangspunkten entlang der Kurve \(\vec{r}(t)\). Da der Pfad in diesem Fall geradlinig ist (weil \(t \cdot \vec{e}_{x}\) linear in \(t\) ist und nur die \(x\)-Komponente ändert), können wir \(\vec{s}\) berechnen als:
\(
\vec{s} = \vec{r}(2) - \vec{r}(0)
\)
Da \(\vec{r}(t) = \vec{r}_{0} + t \cdot \vec{e}_{x}\), haben wir:
\(
\vec{r}(2) = \vec{r}_{0} + 2 \cdot \vec{e}_{x} = \vec{r}_{0} + 2 \cdot (1, 0, 0)^T
\)
und
\(
\vec{r}(0) = \vec{r}_{0}
\)
also,
\(
\vec{s} = (\vec{r}_{0} + 2 \cdot (1, 0, 0)^T) - \vec{r}_{0} = 2 \cdot (1, 0, 0)^T = (2, 0, 0)^T
\)
Um nun die Arbeit zu berechnen, benutzen wir das Skalarprodukt zwischen \(\vec{F}\) und \(\vec{s}\):
\(
W = \vec{F} \cdot \vec{s} = (2, 6, 1)^T \cdot (2, 0, 0)^T
\)
Das Skalarprodukt berechnet sich durch Multiplizieren der entsprechenden Komponenten und deren Summierung:
\(
W = 2 \cdot 2 + 6 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 4 + 0 + 0 = 4 \text{ Joule}
\)
Die aufzuwendende Arbeit, um den Körper in diesem homogenen Kraftfeld entlang der gegebenen Kurve zu bewegen, beträgt also 4 Joule.
