Wie löse ich diese Schaltung mit Ersatzspannungsquelle?

Question

Hallo,
es ist zwar eine E-Technik Aufgabe, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand helfen. Es geht um die unten aufgeführte Schaltung:
Uq1 = 20V
Uq2 = 1V
R1 = 50kOhm
R2 = 40kOhm
R3 = 60kOhm
R5 = 90kOhm

Die Aufgabe lautet:
Berechnen Sie den Strom I2 mit der Methode der Ersatzspannungsquelle.

Wenn es möglich ist, bitte mit Skizze der neuen Schaltung, ich möchte das gerne lernen und verstehen.
 Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallo, hier die Lösung der Aufgabe:

Zunächst eine Vereinfachung: Da der gesuchte Strom I₂ auch durch den Widerstand R₃ fließt, werden R₂ und R₃ zu R_G  zusammengefasst.

R_G = R₂ + R₃  = 40 KOhm + 60 KOhm = 100 KOm, damit wird die Berechnung etwas einfacher.

Nun zu dem Prinzip der Ersatzspannungsquelle:

Um den Strom durch R_G zu bestimmen, löse man (gedanklich) R_G aus der Schaltung heraus und denke sich den Rest der Schaltung in einer "Black-Box", in der nur zwei Bauteile enthalten sind: Eine Spannungsquelle U₀ mit einem Innenwiderstand R_i . Die Größe dieser Spannungsquelle U₀ und die Größe ihres Innenwiderstand R_i müssen nun so berechnet werden, dass sie bei Anschluss von R_G an diese Ersatzspannungsquelle den gleichen Strom hervorrufen wie in der Originalschaltung. Hier das Schaltbild der Ersatzspannungsquelle:

Hier die Berechnung von U₀ und R_i :

Berechnung von U₀ :

Wie bereits erwähnt wird R_G aus der Schaltung gelöst und an seinen Anschlußklemmen (ich nenne sie hier A und B)  die dort vorhandenen Spannung berechnet. Das ist die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle!

Der Mascheumlauf der Spannungen liefert (Richtung der Spannungspfeile beachten!):  U_q1 - U_R1 - U_q2 - U_R5 = 0 umgestellt

U_q1 - U_{q2 =} U_{R1 +} U_R5

ein zweiter Maschenumlauf liefert  U_q1 - U_R1 - U_AB = 0   umgestellt   U_AB = U_q1 - U_R1 

Der Strom durch diese "Restschaltung" ist  I = (U_q1 - U_q2 )/(R₁ + R₅)  =  (20V - 1V)/(50KOhm + 90KOhm) = 0,1357 mA

U_R1 = I • R₁  =  0,1357 mA • 50 KOhm  = 6,7857 V  damit wird U_AB = U_q1 - U_R1 = 20 V - 6,7857 V  = 13,215 V das ist die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle U₀.

Berechnung von R_i :

Hierzu macht man alle Spannungsquellen zu Null und berechnet dann den Widerstand zwischen den Anschlußklemmen A und B. Das ist der Innenwiderstand R_i der Ersatzspannungsquelle. Eine Spannungsquelle "zu Null machen" bedeutet sie zu überbrücken! Man erkennt sofort, dass R_i aus der Parallelschaltung von R₁ und R₅ besteht.

R_i = (R₁ • R₅)((R₁ + R₅) = 32,1428 KOhm

Mit den Werten der Ersatzspannungsquelle U₀ = 13,215 V   R_i = 32,1428 KOhm   und R_G = 100 KOhm kann jetzt der Strom I₂ berechnet werden:

I₂ =  U₀ / (R_i + R_G) = 13,215 V / 132,215 KOhm

I₂ = 0,1 mA