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Mittelwert der Spannung
Der Mittelwert (arithmetischer Mittelwert) der Spannung über eine Periode \(T\) kann durch Integration der Spannungsfunktion über eine Periode und Division durch die Periodendauer berechnet werden. Für einen rechteckigen Spannungsverlauf, der zwischen 0 V und einem Spitzenwert von \(6 \mathrm{V}\) schwankt, hängt der Mittelwert von der Dauer \(t_1\), für die die Spannung auf \(6 \mathrm{V}\) bleibt, und der Gesamtperiode \(T\) ab.
Es gilt:
\(
U_{\text{mittel}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{t_1} 6 \, dt = \frac{6t_1}{T}
\)
Da \(t_1 / T\) das Tastverhältnis ist, können wir schreiben:
\(
U_{\text{mittel}} = 6 \times \frac{t_1}{T}
\)
\(U_{\text{mittel}}\) hängt direkt vom Tastverhältnis ab.
Gleichrichtwert der Spannung
Der Gleichrichtwert ist der Mittelwert des Betrags der Spannung über eine Periode. Für diesen periodischen Spannungsverlauf, der nie negativ wird, ist der Gleichrichtwert identisch mit dem Mittelwert. Daher gilt:
\(
U_{\text{gl}} = 6 \times \frac{t_1}{T}
\)
Effektivwert der Spannung
Der Effektivwert (RMS-Wert) einer Spannung ist definiert als die Quadratwurzel des Mittelwerts der Quadrate der Momentanspannungswerte über eine Periode. Für den gegebenen Verlauf:
\(
U_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{t_1} (6)^2 \, dt}
\)
Dies vereinfacht sich zu:
\(
U_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{36t_1}{T}} = 6\sqrt{\frac{t_1}{T}}
\)
Somit ist der Effektivwert ebenfalls direkt abhängig vom Tastverhältnis \(t_1/T\).
Bestimmen des Tastverhältnisses für einen Scheitelfaktor von 2
Der Scheitelfaktor (oder Crest-Faktor) ist das Verhältnis des Spitzenwertes der Spannung zum Effektivwert. Es wird formuliert als:
\(
S = \frac{U_{\text{spitze}}}{U_{\text{eff}}}
\)
Gegeben ist, dass \(U_{\text{spitze}} = 6 \mathrm{V}\) und der Scheitelfaktor \(S = 2\). Daraus folgt:
\(
2 = \frac{6}{U_{\text{eff}}}
\)
Umformen ergibt:
\(
U_{\text{eff}} = 3 \, \text{V}
\)
Einsetzen der Effektivwertformel liefert:
\(
3 = 6\sqrt{\frac{t_1}{T}}
\)
Weitere Umformung liefert:
\(
\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{t_1}{T}}
\)
Quadrieren beider Seiten führt zu:
\(
\frac{1}{4} = \frac{t_1}{T}
\)
Somit ist das erforderliche Tastverhältnis \(t_1/T = 1/4\) oder \(0,25\), damit der Scheitelfaktor genau 2 wird.
