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Hallo,

vielleicht könnt ihr helfen!? Es ist eine Frage aus der Physik:

Gegeben ist die Beschleunigung nach dem Weg: a(s) = Ks, wobei die Konstante K die Einheit [1/s²] hat. Der Weg s ist in Metern angegeben, so dass es folgerichtig mit a(s) = Ks zu [m/s²] kommt.

Ich suche nun zuerst die Geschwindigkeit nach dem Weg v(s) und dann die benötigte Zeit nach dem Weg t(s). Dann dürfte es nicht schwierig sein, den Weg nach der Zeit s(t) sowie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach der Zeit v(t) und a(t) zu bestimmen.

Besten Dank im Voraus!

P.S. Kurze Hinweise zur Herleitung würden mich freuen.

von

Tipp für den nächsten Post:


Soll dir jemand die Differentialgleichung aufstellen (--> nanolounge)

Kannst du die Differentialgleichung nicht lösen (--> entscheide selbst, ob mathelounge oder nanolounge : Einfach nicht beides. ) 

Gib einmal ein Beispiel und Werte aus der
Praxis. Ansonsten ist dies schon einmal
die wirrste Aufgabe die mir in letzter
untergekommen ist.

gegeben
K = 2  1/s^2
Beschleunigungsweg 30 m

berechnet
a = 2 * 30 = 60 m/s^2
s = 1/2 * a * t^2
30 = 1/2 * 60 * t^2
t = 1 sec
v = a * t = 60 * 1 = 60 m/s
( am Ende des Beschleunigungs-
vorgangs )
Ist die Aufgabe so gemeint ?

Hallo Georgborn,

nein, so ist es nicht gemeint. Die Beschleunigung steigt stetig mit dem zurückgelegten Weg. Es handelt sich nicht um eine gleichförmige Beschleunigung, wie du annahmst.

Um von a(s) nach v(s) zu kommen, muss eine Differentialgleichung angewendet werden. Dann ist es mit den beiden Gleichungen möglich, die Zeit zu bestimmen, die man für die (meinethalben) 30m braucht.

Ich habe dazu schon mal etwas gerechnet, aber mein Weg ist nicht richtig, und ob die Ergebnisse richtig sind, weiß ich nicht.

Allerdings gibt es auch das Problem, dass, wenn der Weg null ist, auch die Beschleunigung null ist. Das Ding kommt also so nicht in Fahrt. Der Weg muss s>0 sein

Vom Duplikat:

Titel: Bewegungsgleichungen mit ungleichförmiger Beschleunigung transformieren

Stichworte: physik,differentialgleichung,beschleunigung,geschwindigkeit,weg

Hallo,

vielleicht könnt ihr helfen!? Es ist eine Frage aus der Physik:

Gegeben ist die Beschleunigung nach dem Weg: a(s) = Ks, wobei die Konstante K die Einheit [1/s²] hat. Der Weg s ist in Metern angegeben, so dass es folgerichtig mit a(s) = Ks zu [m/s²] kommt.

Ich suche nun zuerst die Geschwindigkeit nach dem Weg v(s) und dann die benötigte Zeit nach dem Weg t(s). Dann dürfte es nicht schwierig sein, den Weg nach der Zeit s(t) sowie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach der Zeit v(t) und a(t) zu bestimmen.

Besten Dank im Voraus!

P.S. Kurze Hinweise zur Herleitung würden mich freuen.

Ein Beipiel aus der Praxis wär also
ein Raketenstart. Die Rakete wird
immer leichter, der Schub = const.
Eine ungleichförmig beschleunigte
Bewegung.
Das werde ich wahrscheinlich nicht können.

Allgemein:

$$ v(t)= \int a(t) \, dt $$
$$ s(t)= \int v(t) \, dt $$

Genaue Aufgabenstellung bzw. Problembeschreibung hilft weiter

1 Antwort

+3 Daumen

Das ist kein Raketenstart, sondern z.B. ein simples Federpendel - zumindest dann, wenn \(K<0\) ist. Lt. Aufgabenstellung ist die Beschleunigung - also \(\ddot s\)

$$\ddot s(t) = K \cdot s(t) \quad \Rightarrow \ddot s(t) - K \cdot s(t) = 0$$

Ist nun \(K < 0\) bzw. \(\sqrt{-K} = \omega \in \mathbb{R}\), so erhält man die klassische Lösung

$$s(t) = c_1 \cdot \cos(\omega \cdot t) + c_2 \cdot \sin(\omega \cdot t)$$

Daniel schrieb: "Allerdings gibt es auch das Problem, dass, wenn der Weg null ist, auch die Beschleunigung null ist. Das Ding kommt also so nicht in Fahrt." oder \( \dot s(0) \ne 0\).

von 4,2 k

Hallo Werner,

leider trifft deine Antwort für mein Problem nicht zu, da die Beschleunigung linear ansteigt und nicht nach einer Kreisfunktion.

Auch ist K positiv, wenn auch zu Anfang sehr klein.

Ich selbst habe mal für t(s) = 1/K*ln(s) herausbekommen. a(t) und v(t) sind Exponentialfunktionen gewesen.

Ich fände es auch gut, wenn diese Frage im Matheforum behandelt würde.

Daniel schrieb: "leider trifft deine Antwort für mein Problem nicht zu, da die Beschleunigung linear ansteigt und nicht nach einer Kreisfunktion" das ist kein Widerspruch!

Die Beschleunigung in einem Feder-Masse-Systens ist proportional zur Auslenkung der Feder - also linear zu \(s\). Trotzdem ergibt sich obige Lösung mit den Kreisfunktionen - wenn \(K<0\) ist.

Ist \(K>0\) so ist die Lösung:

$$s(t)=c_1 \cdot e^{\sqrt{K} \cdot t} + c_2 \cdot e^{-\sqrt{K}\cdot t}$$ das entspricht einer 'negativen Feder'. Also die Federkraft wächst mit der Bewegungsrichtung linear in Bewegungsrichtung umso weiter man sich von der Feder entfernt. Die Differentialgleichung bleibt in jedem Fall die gleiche

$$\ddot s(t) = K \cdot s(t)$$ und die Lösung wäre auch gleich, nur dass die Exponenten im Fall von \(K<0\) imäginär wären und zu den Kreisfunktionen führen.

Dein Ergebnis \(t(s)=\frac{1}{K} \ln(s)\) ist bis auf den fehlenden Faktor identisch. Bringe das \(K\) auf die andere Seite und nehme beide Seiten mit \(e\) hoch.

Gruß Werner

PS.: ich finde die Trennung von Mathe- und Physikforum auch nur nervig! Gerade Deine Frage ist in mehrfacher Hinsicht ein Beispiel dafür, dass das wenig Sinn macht!

Vielen Dank, Werner!
Das hört sich sehr gut an

Gruss

Hallo Werner,

ich bin nicht so wissenschaftlich gebildet und habe Probleme mit den Faktoren c1 und c2. Können die nicht 1 sein? Es wäre wirklich unheimlich nett, wenn du die einzelnen Ableitungen (v(s), t(s), s(t), a(t) und v(t)) mir nochmal mit einem Zwischenschritt aufschreiben würdest. Ich brauche das für ein Dokument und zu meinem Verständnis. Schön wäre auch, wenn die Ergebnisse praktisch ausgeführt wären bzw. so kurz wie möglich. Schließlich ist K ca. 10-37 [1/s²] während s bis zu 1027 [m] werden kann.

Vielen Dank im Voraus für die Mühe.

Daniel schrieb "Schließlich ist K ca. \(10^{-37}\) [1/s²] während s bis zu \(10^{27}\) [m] werden kann.

Der Durchmesser der Milchstraße liegt so in der Größenordnung von \(10^{21}\mbox{m}\)! Klar - \(s\) kann unendlich groß werden, aber was rechnet ihr denn da?

Zu dem Rest melde ich ggf. heute abend.

Hallo Werner,

danke, dass du nicht ablehnst. Leider ist es so, dass ich darüber nicht sprechen darf. Die anderen wollen das noch nicht. Tut mir leid.

Gruss, Daniel

Hallo Daniel,

Oh - Du machst es ja richtig spannend! Wer sind 'die anderen'? Und worüber darfst Du nicht sprechen? Ich vermute einen Wurmlochgenerator ;-) dazu empfehle ich die Lektüre von ISBN 978-3442453818.

Zu Deinen Fragen: "v(s), t(s), s(t), a(t) und v(t)"

Alles mit Funktion von \(t\) ist einfach:

$$s(t)= c_1 \cdot e^{t\sqrt{K}} + c_2 \cdot e^{-t\sqrt{K}}$$ $$v(t) = \dot s(t)= \sqrt{K} \cdot \left(c_1 \cdot e^{t\sqrt{K}} - c_2 \cdot e^{-t\sqrt{K}} \right)$$ $$a(t)= \ddot s(t) = K\left( c_1 \cdot e^{t\sqrt{K}} + c_2 \cdot e^{-t\sqrt{K}}\right)$$ Die Funktion \(t(s)\) ist die Inverse zu \(s(t)\). Zunächst substituiere ich

$$e^{t \cdot \sqrt{K}} = z \quad \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{K}} \ln(z)$$ Einsetzen in \(s(t)\) gibt

$$s = c_1 \cdot z + c_2 \cdot \frac{1}{z}$$ $$\Rightarrow \space z_{1,2} = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}}{2 c_1}$$

Die Substitution berücksichtigen:

$$t(s) = \frac{1}{\sqrt{K}} \ln\left( \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}}{2 c_1} \right)$$

Für \(v(s)\) berücksichtige ich die Substitution (s.o.) - aus \(v(t)\) folgt dann:

$$\begin{align} v(s) &= \sqrt{K} \cdot \left(c_1 \cdot z - c_2 \cdot \frac{1}{z} \right)\\&= \sqrt{K} \cdot \left(c_1 \cdot \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}}{2 c_1} - c_2 \cdot \frac{2 c_1}{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}} \right)\\&= \sqrt{K} \cdot \left( \frac12 \left(s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}\right) - \frac12 \left(s \mp \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}\right) \right)\\&= \sqrt{K} \cdot \left(\pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}\right) \end{align}$$ ... dann hoffen wir mal, dass ich mich nicht verrechnet habe.


Du fragtest: " ... habe Probleme mit den Faktoren c1 und c2. Können die nicht 1 sein?"

Die können auch 1 sein. Sie sind aber nicht beliebig, sondern ergeben sich zwingend aus den Anfangsbedingungen, also aus dem Zustand des Systems zum Zeitpunkt \(t=0\). Es gilt:

$$s(0) = c_1 + c_2$$ $$v(0) = \sqrt{K}(c_1 - c_2)$$ Gruß Werner

Vielen Dank Werner,

das ist sehr ausführlich. Dann werden wir mal daran arbeiten :)

Gruss, Daniel

Moin Werner,

wir haben uns entschlossen, dich einzuweihen. Wenn du das Bild unten siehst, wirst du wissen, worauf wir hinauswollen. Wenn du also noch Lust hast, kannst du ja mal versuchen, unsere Ausdrücke zu bestätigen. Die Anfangsbedingungen lauten:

s(t=0) = 1

v(t=0) = H

a(t=0) = H²

Hoffe, es macht dir auch Spaß! Unsere Herleitung ist sehr improvisiert, wie du siehst.

t(s).jpg

Hier nochmal als PDF: t(s).pdf (15 kb)

Besten Dank für deine Ableitungen, Werner!
Hab die Faktoren bestimmt und eingesetzt. Es ist alles wunschgemäß.

Gruss, Daniel

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