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Frage aus der Physik:

Eine Linse (f‘ = 5mm) bildet ein 0,05 mm dickes Haar ab, das sich in der Objektentfernung \( a = 1,05× \overline { f }  \) befindet.

Gesucht sind a‘ und y‘.

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Titel der Antwort: Berechnung von a' und y' für die Abbildung eines Haares durch eine Linse

Um die gesuchten Größen \(a'\) (Bildweite) und \(y'\) (Bildgröße) zu finden, beginnen wir mit den bekannten Informationen und wenden dann die Linsengleichung sowie die Gleichung für die Abbildungsmaßstäbe an.

Gegeben:
- Brennweite der Linse \( f' = 5 \, \text{mm} \)
- Objektgröße \( y = 0,05 \, \text{mm} \)
- Objektentfernung \( a = 1,05 \times f' \)

Schritt 1: Berechnen von \( a' \) (Bildweite)

Für die Linsengleichung gilt:
\( \frac{1}{f'} = \frac{1}{a} + \frac{1}{a'} \)

Ersetzen wir \( a \) mit \( 1,05 \times f' \), wird die Gleichung zu:
\( \frac{1}{5 \, \text{mm}} = \frac{1}{1,05 \times 5 \, \text{mm}} + \frac{1}{a'} \)

Einsetzen der Werte und umformen nach \( a' \) führt zu:
\( \frac{1}{5} = \frac{1}{5,25} + \frac{1}{a'} \)

Dies vereinfacht zu:
\( \frac{1}{a'} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5,25} \)

Berechnung ergibt:
\( \frac{1}{a'} = 0,2 - 0,19047619 = 0,00952381 \)

Umstellen nach \( a' \):
\( a' = \frac{1}{0,00952381} \approx 105 \, \text{mm} \)

Schritt 2: Berechnen von \( y' \) (Bildgröße)

Für die Abbildungsmaßstab \( \beta \) gilt:
\( \beta = \frac{y'}{y} = \frac{a'}{a} \)

Umformen nach \( y' \):
\( y' = y \times \frac{a'}{a} \)

Setzen wir die gegebenen und berechneten Werte ein:
\( y' = 0,05 \, \text{mm} \times \frac{105 \, \text{mm}}{1,05 \times 5 \, \text{mm}} \)

Berechnung:
\( y' = 0,05 \, \text{mm} \times 20 = 1 \, \text{mm} \)

Ergebnis:
- Die Bildweite \( a' \) beträgt ungefähr \( 105 \, \text{mm} \).
- Die Bildgröße \( y' \) beträgt \( 1 \, \text{mm} \).
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