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Aufgabe Physik - Beugung von Wellen:

Zeige, dass sich in einem Gitterspektrum von weißem Licht rot (λ_(rot) = 710 nm) im Maximum 2. Ordnung und blau (λ_(blau) = 460 nm) im Maximum 3. Ordnung überlappen.

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Beugung von Wellen, Überlappen von Licht (Gitterspektrum)

Um zu zeigen, dass sich rotes Licht (\(\lambda_{\text{rot}} = 710 \, \text{nm}\)) im Maximum 2. Ordnung und blaues Licht (\(\lambda_{\text{blau}} = 460 \, \text{nm}\)) im Maximum 3. Ordnung in einem Gitterspektrum überlappen, nutzen wir die Gittergleichung für Beugungsmaxima:

\( d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda \)

Hierbei ist:
- \(d\) der Abstand zwischen den Gitterlinien,
- \(\theta\) der Winkel, unter dem das gebeugte Licht beobachtet wird,
- \(m\) die Ordnung des Maximums, und
- \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts.

Zuerst betrachten wir das rote Licht (\(\lambda_{\text{rot}} = 710 \, \text{nm}\)) im Maximum 2. Ordnung (\(m_{\text{rot}} = 2\)):

\( d \cdot \sin(\theta_{\text{rot}}) = 2 \cdot 710 \, \text{nm} \)

Als Nächstes betrachten wir das blaue Licht (\(\lambda_{\text{blau}} = 460 \, \text{nm}\)) im Maximum 3. Ordnung (\(m_{\text{blau}} = 3\)):

\( d \cdot \sin(\theta_{\text{blau}}) = 3 \cdot 460 \, \text{nm} \)

Damit sich beide Wellenlängen im selben Beugungswinkel überlappen (\(\theta_{\text{rot}} = \theta_{\text{blau}}\)), muss gelten:

\( 2 \cdot 710 \, \text{nm} = 3 \cdot 460 \, \text{nm} \)

Berechnen wir jetzt beide Seiten der Gleichung:

\( 1420 \, \text{nm} = 1380 \, \text{nm} \)

Offensichtlich entsprechen die exakten berechneten Werte nicht exakt einander, was auf den ersten Blick scheint, dass sie sich nicht überlappen würden. Allerdings muss man bedenken, dass die Gleichung den idealen Fall darstellt und in der Praxis durch die Breite der Maxima und der möglichen Messtoleranzen, vor allem bei Gittern mit einer großen Anzahl an Linien, tatsächlich ein Überlappungsbereich entstehen kann. Die Nähe der berechneten theoretischen Werte lässt vermuten, dass in einem realen Gitterspektrum ein Überlappen der Farben im Bereich des Möglichen liegt.

Um jedoch präzise zu sein, war die direkte Berechnung, wie gezeigt, nicht ganz korrekt, da sie darauf hingewiesen hat, dass beide Seiten der Gleichung exakt übereinstimmen müssten, was in diesem Fall nicht zutrifft. Es zeigt aber, dass die beiden Werte nah beieinander liegen, was auf die Möglichkeit eines realen Überlappens hindeutet, insbesondere wenn man bedenkt, dass Wellenlängen ein Spektrum und keine punktförmigen Einzeldaten darstellen.

Kurzum, obwohl die direkte Berechnung nicht exakt den erwarteten Überlapp zeigt, legt die Nähe der Werte nahe, dass in der Praxis aufgrund von Beugungsmaxima-Breiten tatsächlich ein Überlapp möglich ist.
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