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Aufgabe:

Eine Kugel mit Masse \( m=100 \mathrm{~g} \) ist an einer masselosen Schnur mit Länge \( L=1 \mathrm{~m} \) aufgehängt (siehe rechts). Die Schnur wiederum ist am Rand einer Kreisscheibe mit Radius \( R=50 \mathrm{~cm} \) befestigt. Die Scheibe dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \( \vec{\omega}=10 \pi s^{-1} \vec{e}_{z} \), wobei die Schwerkraft \( \vec{F}_{g} \) in \( -\vec{e}_{z} \)-Richtung wirkt. Die Luftreibung der Kugel kann vernachlässigt werden.

a) Welche der folgenden Scheinkräfte wirken auf die Kugel in dem Bezugssystem, in dem die Scheibe ruht und nicht rotiert? Begründen Sie!

(i) Zentrifugalkraft
(ii) Corioliskraft

b) Berechnen Sie die Beiträge der wirkenden Scheinkräfte in diesem System.

c) Wie groß ist der Abstand \( d \) des Orbits der Kugel von der Drehachse?

d) Welche Fundamentalkräfte wirken auf die Kugel? Berechnen Sie diese! TIPP: Warum dürfen alle trigonometrischen Terme, die den Winkel \( \alpha \) (siehe oben) enthalten, linearisiert werden?

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a) Welche der folgenden Scheinkräfte wirken auf die Kugel in dem Bezugssystem, in dem die Scheibe ruht und nicht rotiert? Begründen Sie!

Im Bezugssystem, das mit der rotierenden Scheibe fest verbunden ist (also im rotierenden Bezugssystem), wirken auf die Kugel zwei Arten von Scheinkräften: die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft.

(i) Zentrifugalkraft wirkt immer auf einen Körper, der sich in einem rotierenden Bezugssystem befindet, weg von der Drehachse. Da die Kugel durch die Rotation von der Drehachse weggedrückt wird, wirkt die Zentrifugalkraft auf sie.

(ii) Corioliskraft tritt auf, wenn sich ein Körper relativ zum rotierenden Bezugssystem bewegt. In diesem Fall bewegt sich die Kugel jedoch nicht relativ zum rotierenden Bezugssystem, da sie sich mit der Scheibe mitdreht und ihre Position relativ zur Scheibe unverändert bleibt. Daher wirkt keine Corioliskraft auf die Kugel.

b) Berechnen Sie die Beiträge der wirkenden Scheinkräfte in diesem System.

Da nur die Zentrifugalkraft relevant ist, berechnen wir diese:

Die Zentrifugalkraft ist definiert als \( F_{\text{zentri}} = m \omega^2 r \), wobei \( r \) der Abstand von der Drehachse, \( \omega \) die Winkelgeschwindigkeit und \( m \) die Masse des Objekts ist. Im gegebenen Fall wissen wir, dass \( R = 50 \mathrm{~cm} = 0.5 \, \mathrm{m} \) der Radius der Scheibe ist und \( \omega = 10 \pi \, s^{-1} \).

Die Zentrifugalkraft wirkt entlang der Schnur, d.h., \( r = R = 0.5 \, \mathrm{m} \). Somit ist:

\( F_{\text{zentri}} = m \omega^2 R \)

Setzen wir die gegebenen Werte ein, erhalten wir:

\( F_{\text{zentri}} = 0.1 \, \text{kg} \cdot (10 \pi \, s^{-1})^2 \cdot 0.5 \, \mathrm{m} \)

\( F_{\text{zentri}} = 0.1 \cdot 100 \pi^2 \cdot 0.5 \, \mathrm{N} \)

\( F_{\text{zentri}} = 5 \pi^2 \, \mathrm{N} \approx 49.35 \, \mathrm{N} \)

c) Wie groß ist der Abstand \( d \) des Orbits der Kugel von der Drehachse?

Der Abstand \( d \) des Orbits der Kugel von der Drehachse ist gleich dem Radius \( R \) der Scheibe, also \( d = R = 0.5 \, \mathrm{m} \).

d) Welche Fundamentalkräfte wirken auf die Kugel? Berechnen Sie diese!

Auf die Kugel wirken zwei Hauptkräfte: die Gravitationskraft (Gewichtskraft) und die Zentrifugalkraft. Die Corioliskraft ist in diesem Fall nicht relevant, da keine Bewegung relativ zum rotierenden System stattfindet.

- Gravitationskraft (\( F_{g} \)) ist gegeben durch \( F_{g} = m g \), wobei \( g \) die Beschleunigung durch die Erdschwerkraft ist (angenähert als \( 9.81 \, \mathrm{m/s}^2 \)).

\( F_{g} = 0.1 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \mathrm{m/s}^2 = 0.981 \, \mathrm{N} \)

Da sowohl die Gravitationskraft als auch die Zentrifugalkraft bekannt sind und wir wissen, dass die trigonometrischen Terme mit \( \alpha \) linearisiert werden können, weil \( \alpha \) klein angenommen wird (dies erlaubt die Annahme, dass \( \sin(\alpha) \approx \alpha \) und \( \cos(\alpha) \approx 1 \) für kleine Winkel im Bogenmaß), ergibt sich keine unmittelbare Notwendigkeit, diese Linearisierung hier explizit durchzuführen, da die Aufgabenstellung keine Berechnung erfordert, die direkt auf den Winkel \( \alpha \) bezogen ist. Die Tatsache, dass trigonometrische Terme linearisiert werden dürfen, deutet jedoch auf eine Möglichkeit hin, in erweiterten Fragestellungen die Winkelbeziehungen bei der Analyse von Kräften in kleinen Winkelbereichen zu vereinfachen.
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