Antwort mit KI erzeugt
c) Berechnung von \(U_{H}, I_{L}, U_{G}\) und \(I_{N}\)
Um die verschiedenen Werte zu bestimmen, müssen wir zuerst verstehen, welche Effekte die Transformatoren auf die verschiedenen Größen haben. Die Aufgabe gibt uns folgende Informationen:
- Die Lampe \(R_{N}\) funktioniert mit \(6V\) und \(3W\).
- Der Gesamtwiderstand der Leitungen \(R_{L}\) beträgt \(5\Omega\).
- Das Windungsverhältnis der Transformatoren beträgt \(500:23000\).
Schritt 1: Berechnung von \(U_{H}\)
Da bekannt ist, dass die Lampe mit \(6V\) und \(3W\) arbeitet, können wir den Strom \(I_{N}\) über die Lampe mit der Formel \(P = U \cdot I\) berechnen, wobei \(P\) die Leistung der Lampe ist.
\(I_{N} = \frac{P}{U} = \frac{3W}{6V} = 0,5A\)
Da der Transformator die Spannung transformiert, ohne die Leistung zu ändern (idealerweise), bleibt der Strom auf der Sekundärseite (der Seite der Lampe) gleich. Der Strom im Hochspannungsteil kann allerdings anders sein, und das ist der Fall hier.
Schritt 2: Berechnung von \(I_{L}\)
Das Verhältnis der Ströme in einem Transformator verhält sich umgekehrt zum Windungsverhältnis. Für das Windungsverhältnis von \(500:23000\) und dem bekannten Strom \(I_{N}=0,5A\) auf der Niederspannungsseite ergibt sich für den Strom \(I_{H}\) auf der Hochspannungsseite:
\(I_{H} = I_{N} \times \frac{500}{23000} = 0,5A \times \frac{500}{23000} = \frac{1}{92}A\)
Schritt 3: Berechnung von \(U_{G}\)
Um \(U_{G}\) zu berechnen, müssen wir zuerst die Spannung über \(R_{L}\) berechnen, da diese Teil der gesamten Generatorspannung \(U_{G}\) ist.
\(U_{R_{L}} = I_{H} \times R_{L} = \frac{1}{92}A \times 5\Omega \approx 0,0543V\)
Die Spannung \(U_{H}\) (Hochspannung) ergibt sich durch Transformation der ursprünglichen \(6V\) von \(R_{N}\):
\(U_{H} = 6V \times \frac{23000}{500} = 6V \times 46 = 276V\)
Die gesamte Generatorspannung \(U_{G}\) beinhaltet die Spannung über den Widerständen \(R_{L}\) und die transformierte Spannung \(U_{H}\):
\(U_{G} = U_{H} + U_{R_{L}} \approx 276V + 0,0543V \approx 276,0543V\)
d) Berechnung von \(P_{G}\), \(P_{N}\) und \(P_{L}\) und des relativen Verlusts
Die Leistung an der Lampe \(P_{N}\) bleibt bei \(3W\), wie in der Aufgabenstellung vorgegeben.
Leistungsverlust in den Leitungen \(P_{L}\):
\(P_{L} = I_{H}^2 \times R_{L} = \left(\frac{1}{92}\right)^2 \times 5\Omega \approx 0,00059W\)
Eingangsleistung vom Generator \(P_{G}\):
Da die Effizienz des Transformators hier nicht gegeben ist, nehmen wir idealisierende Bedingungen an, sodass die Eingangsleistung hauptsächlich die Summe aus der benötigten Leistung an der Last und den Verlusten in den Leitungen ist:
\(P_{G} = P_{N} + P_{L} \approx 3W + 0,00059W \approx 3,00059W\)
Relativer Verlust:
Der relative Verlust kann als Prozentsatz der gesamten vom Generator gelieferten Leistung ausgedrückt werden:
\(\text{Relativer Verlust} = \frac{P_{L}}{P_{G}} \times 100\% \approx \frac{0,00059W}{3,00059W} \times 100\% \approx 0,0197\%\)
Obwohl es kleine Rundungsfehler in den Berechnungen geben kann, zeigt das Ergebnis, dass der Leistungsverlust in den Leitungen mit den Transformatoren im Verhältnis zur gesamten vom Generator gelieferten Leistung sehr gering ist.
