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Massenverhältnis Zylinder
Lassen Sie uns die gegebene Situation in zwei Teilen analysieren: zuerst wie viel Masse die Zylinder jeweils tragen und dann das Verhältnis von \(a\) zu \(b\).
Teil a: Bestimmung der Masse, die von jedem Zylinder getragen wird
Um die Masse, die jeder Zylinder trägt, zu bestimmen, verwenden wir das Hooke'sche Gesetz in seiner differenziellen Form \(F/A = E \cdot \Delta L / L\), wobei \(F\) die auf das Objekt angewandte Kraft, \(A\) die Querschnittsfläche, \(E\) der Elastizitätsmodul, \(\Delta L\) die Längenänderung und \(L\) die ursprüngliche Länge ist.
Für die Gleichgewichtslage müssen das Gesamtgewicht und die von den Zylindern getragenen Gewichte betrachtet werden. Das System ist im Gleichgewicht, wenn die gesamte Kraft \(F_{\text{ges}} = (m_1 + m_2)g = M \cdot g\) ist, wobei \(M\) die Masse des Quaders ist.
Bezeichnen wir die Masse, die von Zylinder A getragen wird, mit \(m_1\) und die Masse, die von Zylinder B getragen wird, mit \(m_2\). Da \(F = m \cdot g\), gilt für Zylinder A: \(F_A = m_1g\) und für Zylinder B: \(F_B = m_2g\).
Mit den gegebenen Verhältnissen \(A_A = 3A_B\) und \(E_A = 3E_B\), nutzen wir \(F/A = E \cdot \Delta L / L\) für jeden Zylinder.
Für Zylinder A: \(\frac{F_A}{A_A} = \frac{E_A \cdot \Delta L_A}{L}\)
Für Zylinder B: \(\frac{F_B}{A_B} = \frac{E_B \cdot \Delta L_B}{L}\)
Da \(A_A = 3A_B\) und \(E_A = 3E_B\), aber \(\Delta L_A = \Delta L_B\) gilt, da beide Zylinder dieselbe Längenänderung erfahren (da der Quader homogen ist), können wir die beiden Gleichungen zum Teil kombinieren. Die Kraft, die jeder Zylinder erfährt, steht im direkten Verhältnis zu den Flächen und den Elastizitätsmodulen. Allerdings ist ohne detaillierte Zahlen für \(F\), \(A\), \(E\), und \(\Delta L\), eine spezifische Lösung nicht direkt ableitbar. Jedoch ergibt sich aus der Beziehung der Querschnittsflächen und Elastizitätsmodule, dass Zylinder A eine größere Masse tragen kann als Zylinder B, aufgrund der größeren Querschnittsfläche und des höheren Elastizitätsmoduls.
Teil b: Bestimmung von \(a\) und \(b\) bzw. \(a/b\)
Da die Aufgabenstellung keine spezifischen Informationen zu den Längenänderungen gibt oder wie genau das System im Gleichgewicht ist mit dem Abstand \(h\), also \(a+b=h\), können wir \(a\) und \(b\) nicht direkt bestimmen oder das Verhältnis \(a/b\) berechnen ohne weitere Details bezüglich der Verteilung der Masse \(M\) oder der spezifischen Auslenkungen \(\Delta L_A\) und \(\Delta L_B\).
Typischerweise würden für eine genaue Berechnung von \(a\) und \(b\) Informationen über die Auslenkung der Zylinder unter der Last benötigt, die wiederum von der verteilten Masse und den spezifischen Elastizitätsmoduli und Querschnittsflächen abhängen. In der Praxis könnte man annehmen, dass bei einer gleichmäßigen Verteilung des Gewichts des Quaders und der gegebenen Relation der Elastizitätsmodule und Querschnittsflächen, \(a\) und \(b\) so angeordnet wären, dass die daraus resultierenden Kräfte im Gleichgewicht sind, ohne jedoch ohne zusätzliche Daten eine spezifische Berechnung anbieten zu können.
