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Es gibt einen Skilift der Personen (je 100 kg) hochziehen soll. Die Piste hat einen Winkel von 30 Grad und die Zugkraft vom Schlepplift nochmals weitere 20 Grad zur Piste. Gleitreibungszahl auf Schnee ist 0,15.

a) Wie groß ist die Reibkraft pro Skifahrer?

b) Welche Kraft muss der Skilift pro Skifahrer aufbringen, um ihn aus dem Stillstand von 0 auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen?


Ansatz/Problem:

Der Skifahrer auf dem Hang hat ja eine Hangabtriebskraft von Fg*sin(30°), jedoch ist die Reibkraft nicht Fg*cos(30)*mü, sie ist geringer, was ich auch nachvollziehen kann, da die Person ja durch den Lift etwas noch oben entlastet wird.

Zur Aufgabe b) muss ich ja zunächst mal Fh und Freib aufwenden um die Person in Ruhe zu halten, dann muss ich sie ja noch mit F=100*3/1 beschleunigen oder? Das hätte ich gesagt muss ich hinzuaddieren um die Kraft zu bestimmen die der Skilift aufbringen muss.

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Antwort mit KI erzeugt

a) Wie groß ist die Reibkraft pro Skifahrer?

Um die Reibkraft pro Skifahrer (\(F_{\text{reib}}\)) zu berechnen, benötigen wir zuerst die Normalkraft, die auf den Skifahrer wirkt. Da der Lift zusätzlich zur Hangneigung um weitere 20 Grad zur Piste gezogen wird, wirkt sich das auf die Komponente der Normalen aus.

Die gesamte Gewichtskraft (\(F_g\)) des Skifahrers beträgt \(F_g = m \cdot g\), wobei \(m = 100\) kg die Masse des Skifahrers und \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\) die Erdbeschleunigung ist. Damit erhalten wir:

\(F_g = 100 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 981 \, \text{N}\)

Die Komponente der Gewichtskraft senkrecht zum Hang (\(F_{\text{norm}}\)) wird durch den Cosinus des Hangwinkels bestimmt, da der Lift aber zusätzlich um 20 Grad angehoben wird, muss dieser Winkel vom Hangwinkel abgezogen werden, um den effektiv wirkenden Neigungswinkel (\(\theta\)) zu erhalten:

\(\theta = 30^\circ - 20^\circ = 10^\circ\)

Daraus folgt für die Normalkraft:

\(F_{\text{norm}} = F_g \cdot \cos(\theta) = 981 \, \text{N} \cdot \cos(10^\circ)\)

Berechnen wir \(F_{\text{norm}}\):

\(F_{\text{norm}} ≈ 981 \, \text{N} \cdot 0,9848 ≈ 966,0 \, \text{N}\)

Die Reibkraft (\(F_{\text{reib}}\)) wird mit der Reibungszahl (\(\mu\)) und der Normalkraft (\(F_{\text{norm}}\)) berechnet:

\(F_{\text{reib}} = \mu \cdot F_{\text{norm}}\)

Mit \(\mu = 0,15\) erhalten wir:

\(F_{\text{reib}} = 0,15 \cdot 966,0 \, \text{N} = 144,9 \, \text{N}\)

Die Reibkraft pro Skifahrer beträgt demnach ca. \(144,9\) Newton.

b) Welche Kraft muss der Skilift pro Skifahrer aufbringen, um ihn aus dem Stillstand von 0 auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen?

Um die zusätzlich aufzubringende Kraft (\(F_{\text{extra}}\)) zu berechnen, die notwendig ist, um den Skifahrer von 0 auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen, verwenden wir das zweite Newtonsche Gesetz (\(F = m \cdot a\)).

Die Beschleunigung (\(a\)) wird über die Formel \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) berechnet, wobei \(\Delta v = 3 \, \text{m/s}\) (Endgeschwindigkeit minus Anfangsgeschwindigkeit) und \(\Delta t = 1 \, \text{s}\).

\(a = \frac{3 \, \text{m/s}}{1 \, \text{s}} = 3 \, \text{m/s}^2\)

Daher ist die zusätzlich aufzubringende Kraft:

\(F_{\text{extra}} = m \cdot a = 100 \, \text{kg} \cdot 3 \, \text{m/s}^2 = 300 \, \text{N}\)

Diese Kraft ist zusätzlich zu den Kräften aufzubringen, die notwendig sind, um der Hangabtriebskraft und der Reibung entgegenzuwirken. Die Gesamtkraft (\(F_{\text{ges}}\)), die der Lift aufbringen muss, um den Skifahrer sowohl zu beschleunigen als auch die Reibung zu überwinden, setzt sich zusammen aus \(F_{\text{extra}}\) und \(F_{\text{reib}}\):

\(F_{\text{ges}} = F_{\text{extra}} + F_{\text{reib}} = 300 \, \text{N} + 144,9 \, \text{N} ≈ 444,9 \, \text{N}\)

Somit muss der Skilift pro Skifahrer eine Kraft von ca. \(444,9\) Newton aufbringen, um ihn unter den gegebenen Bedingungen aus dem Stillstand auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen und gleichzeitig der Reibung entgegenzuwirken.
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Bitte korrigiere deine Antwort entsprechend den Hinweisen:

a) Es sei G die Gewichtskraft, N die Normalkraft, S die Seilkraft und R die Reibkraft. Das sind alle Kräfte, die bei konstanter Geschwindigkeit auf den Skifahrer wirken. Wir nehmen ein Koordinatensystem mit x-Achse paralle zum Hang und erhalten die Kräfte in x-Richtung


G·sin 30° + R = S·cos 20°

sowie y-Richtung

G·cos 30° = N + S·sin 20°

zudem ist R = 0,15·N

Das ergibt eine Reibkraft von R ≈ 95,4 N pro Skifahrer, die Seilkraft ist S ≈ 624 N.

Kommentar mit KI erzeugt

a) Wie groß ist die Reibkraft pro Skifahrer?

Basierend auf den Hinweisen wird eine korrekte Ermittlung der Reibkraft \(R\) durchgeführt, indem die Kräftegleichgewichte in x- und y-Richtung unter Einbeziehung aller relevanten Kräfte berücksichtigt werden.

Zuerst müssen wir die gegebenen Informationen in einer mathematisch nützlichen Form darlegen:
- Die Gewichtskraft \(G\) eines Skifahrers berechnet sich als \(G = m \cdot g = 100 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2\).
- Die Gewichtskraft \(G\) kann in zwei Komponenten aufgeteilt werden: eine parallel (\(G_{\parallel}\)) und eine senkrecht (\(G_{\perp}\)) zum Hang.
- \(G_{\parallel} = G \cdot \sin(30°)\) und \(G_{\perp} = G \cdot \cos(30°)\).
- Die Reibkraft \(R = \mu \cdot N\).
- Seilkraft \(S\) wirkt mit einem Winkel von 20° zur Hangrichtung.

Die Kraftgleichgewichte für den Skifahrer bei konstanter Geschwindigkeit lauten wie folgt:

In x-Richtung:
\(G \cdot \sin(30°) + R = S \cdot \cos(20°)\)

In y-Richtung:
\(G \cdot \cos(30°) = N + S \cdot \sin(20°)\)

Da \(R = \mu \cdot N\) und \(\mu = 0,15\), lässt sich nun die Normalkraft \(N\) berechnen, indem man zunächst \(S\) ermittelt und dann die Formel \(R = \mu \cdot N\) anwendet.

Gleichung für \(R\) unter Anwendung der gemachten Korrekturen lautet nach Hinweis:
\(R \approx 95,4 \, \text{N}\)

Folglich beträgt die Reibkraft pro Skifahrer etwa \(95,4 \, \text{N}\).

b) Welche Kraft muss der Skilift pro Skifahrer aufbringen, um ihn aus dem Stillstand von 0 auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen?

Die erforderliche zusätzliche Kraft \(F_{\text{extra}}\), um den Skifahrer zu beschleunigen, wurde bereits richtig als \(300 \, \text{N}\) berechnet unter Verwendung der Formel \(F = m \cdot a\), wobei \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = 3 \, \text{m/s}^2\) ist.

Der Fehler in der ursprünglichen Antwort lag nicht bei der Berechnung dieser Kraft, sondern bei der Berücksichtigung der Gesamtbedingungen für die Reibkraft \(R\).

Die Gesamtkraft, die nun der Skilift aufbringen muss, um den Skifahrer sowohl zu beschleunigen als auch die Reibung zu überwinden, setzt sich also zusammen aus:

\(F_{\text{ges}} = F_{\text{extra}} + R = 300 \, \text{N} + 95,4 \, \text{N} = 395,4 \, \text{N}\)

Daher muss der Skilift pro Skifahrer eine Kraft von etwa \(395,4 \, \text{N}\) aufbringen, um ihn unter den gegebenen Bedingungen aus dem Stillstand auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen und gleichzeitig der Reibung entgegenzuwirken.
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auch hier hat die KI wieder daneben gegriffen.

a)

Es sei G die Gewichtskraft, N die Normalkraft, S die Seilkraft und R die Reibkraft. Das sind alle Kräfte, die bei konstanter Geschwindigkeit auf den Skifahrer wirken. Wir nehmen ein Koordinatensystem mit x-Achse parallel zum Hang und erhalten die Kräfte in x-Richtung

G·sin 30° + R = S·cos 20°

sowie y-Richtung

G·cos 30° = N + S·sin 20°

zudem ist R = 0,15·N

Das ergibt eine Reibkraft von R ≈ 95,4 N pro Skifahrer, die Seilkraft ist S ≈ 624 N.


Die KI hat hier in letzter Zeit einige Antworten gegeben, wer soll die jetzt auf Richtigkeit überprüfen?

Und noch einmal meine Anregung: Kommentare zu älteren Fragen die antwortwürdig sind, bitte als Antwort posten.

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