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Bild MathematikKönnt ihr mir bitte helfen? Danke schön

von

x1 := y    x1` = x2

x2 := y   x2 = f(t) - kx1(t)

Kann jemand helfen?

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Hi,
zu (a)
Die Dgl. kann man schreiben als
$$ (1) \quad \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} y(t) \\ \dot y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ -k & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y(t) \\ \dot y(t) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix} $$
Also hat die Dgl. die Form eines inhomogenen linearen Dgl. System mit konstanten Koeffizienten der Form
$$ (2) \quad \dot z(t) = A \cdot z(t) + b(t) $$ mit

\( A = \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ -k & 0 \end{pmatrix} \),

\( z(t) = \begin{pmatrix} y(t) \\ \dot y(t) \end{pmatrix} \) und

\( b(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix} \)
Die Lösung existiert, falls die rechte Seite der Dgl. lipschitzsteitig ist. Es gilt
$$ \| A z + b - A \overline z - b \| \le \| A \| \cdot \| z - \overline z \|  $$ d.h. die rechte Seite ist lipschitzsteitig und damit ex. die Lösung auf ganz \( \mathbb{R}^+ \)

zu (b)

Die Lösung von (1) lautet allgemein
$$ (3) \quad \begin{pmatrix} y(t) \\ \dot y(t) \end{pmatrix} = \int_0^t e^{A(t-s)} \begin{pmatrix} 0 \\ f(s) \end{pmatrix} ds $$
Für z.B. \( f(t) = 3 \), also einer konstanten Funktion, lautet die Lösung im speziellen
$$ (4) \quad \begin{pmatrix} y(t) \\ \dot y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6 \cdot \sin^2 \left( \frac{\sqrt{k} \cdot t}{2} \right)}{k} \\ \frac{ 3 \cdot \sin ( \sqrt{k} \cdot t ) }{\sqrt{k}} \end{pmatrix} $$
Mit $$ \varphi(t) = \dot y(t)^2 + k \cdot y(t)^2  $$ und $$ \psi (t) = \int_0^t e^{t-s} f(s) ds = 3 \cdot e^t - 3 $$
gilt
$$ \varphi(1) > \psi(1) $$ Das heisst die behauptete Ungleichung ist nicht richtig.

von

Hi, man kann aber folgendermaßen abschätzten. Durch Multiplikation mit \( \dot y \) ergibt sich

$$ \ddot y \dot y + k y \dot y = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \dot y^2 +\frac{1}{2} k \frac{d}{dt} y^2  = f \dot y \le \frac{1}{2} f^2 + \frac{1}{2} \dot y^2$$ mit \( \varphi = \dot y^2 +k y^2 \) folgt, das gilt

$$  \dot \varphi \le f^2 + \dot y^2 \le f^2 + \varphi $$

Daraus folgt mit dem Gronwall Lemma, das gilt

$$  \varphi(t) \le \int_0^t f^2(s) e^{t-s} ds $$

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