Naja, die Bewegungsgleichung folgt ja aus der Bedingung, dass dir Variation der Wirkung verschwindet, δS=0, steht also quasi schon da:
Die Variation muss ja für alle δz verschwinden und das ist genau dann der Fall, wenn der Term in Klammern im ersten Integral = 0 ist (das ist die gesuchte Bewegungs-/ Differentialgleichung) unter der Bedingung, dass die Randterme = 0 sind (die beiden hinteren Terme).
Der zweite Teil der Aufgabe spezifiziert das bloß für eine konkrete Funktion.