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Aufgabe:

10.0 Ein Körper der Masse \( m_{1}=0,50 \mathrm{~kg} \) ist mit einer Schnur, die über eine Rolle läuft, an einem Exzenter ( \( A_{1}=10 \mathrm{~cm} \) ) befestigt. Mit einsetzender Motordrehung führt \( m_{1} \) somit Schwingungen aus. Die Drehzahl des Motors ist variabel.

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10.1 Zur Zeit \( t=0 \mathrm{~s} \) beginne die Schwingung von \( \mathrm{m}_{1} \) mit positivem Nulldurchgang. Wie groß ist jeweils die Zugkraft auf die Schnur zu den Zeiten \( T / 4 ; T / 2 \); \( 3 / 4 \) Tund \( T \), wenn \( \omega=6,0 \mathrm{~s}^{-1} \) ?

10.2 Wie weit kann die Frequenz des Exzenters gesteigert werden, so dass \( m_{1} \) die durch den Exzenter verursachte Schwingung gerade noch ausführt?

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Zum Verständnis der Aufgabe:

Es geht um die Untersuchung einer erzwungenen Schwingung, bei der ein Körper der Masse \( m_1 \) mittels einer Schnur, die über eine Rolle geführt wird, an einem Exzenter befestigt ist. Bei Beginn der Motordrehung führt dieser Körper Schwingungen aus. Gegeben ist eine Drehzahl des Motors (\(\omega = 6,0 \ \text{s}^{-1}\)), die zu betrachten ist, um die Zugkraft auf die Schnur zu verschiedenen Zeitpunkten innerhalb der Schwingungsperiode \(T\) zu berechnen. Außerdem soll die maximale Frequenz, bei der die Schwingung noch ausgeführt werden kann, ermittelt werden.

Zusätzliche Informationen:

- Masse des Körpers \(m_1 = 0,50 \ kg\)
- Amplitude des Exzenters \(A_1 = 10 \ cm = 0,10 \ m\)
- Winkelgeschwindigkeit \(\omega = 6,0 \ s^{-1}\)

Zugkraft auf die Schnur:

Die Zugkraft \(F\) auf die Schnur besteht aus zwei Teilen: die Gewichtskraft \(F_g = m_1 \cdot g\) (mit \(g = 9,81 \ m/s^2\) als Erdbeschleunigung) und die Zentripetalkraft \(F_z\), die nötig ist, um den Körper in der kreisförmigen Bahn zu halten. Die Gesamtkraft ist die Summe dieser Kräfte, jedoch müssen wir beachten, dass die Zentripetalkraft je nach Zeitpunkt unterschiedlich zur Gewichtskraft beiträgt.

Die Gleichung für die Position eines Körpers in der Schwingung in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) lautet
\(x(t) = A_1 \sin(\omega t)\)

Um die Zentripetalkraft zu bestimmen, benötigen wir die Beschleunigung \(a(t)\):

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Position nach der Zeit:
\(a(t) = -A_1 \omega^2 \sin(\omega t)\)

Die Zentripetalkraft \(F_z\) ist das Produkt aus Masse und Beschleunigung:
\(F_z = m_1 a(t) = -m_1 A_1 \omega^2 \sin(\omega t)\)

Die Gesamtzugkraft \(F\) auf die Schnur zu jedem Zeitpunkt setzt sich aus der Gewichtskraft und der Zentripetalkraft zusammen. Zu beachten ist, dass die Richtung der Kräfte beachtet werden muss, wenn sie in die Gleichung eingesetzt werden.

10.1 Berechnung der Zugkraft zu verschiedenen Zeitpunkten:

Für \(t = T/4, T/2, 3/4T, T\), wobei \(T = \frac{2\pi}{\omega}\):

- \(T = \frac{2\pi}{6,0 \ s^{-1}} = \frac{\pi}{3} \ s\)

Bei \(t = T/4 = \frac{\pi}{3}/4 = \frac{\pi}{12}\):

\(a\left(\frac{T}{4}\right) = -0,1 \cdot 6^2 \cdot \sin\left(6 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = -0,1 \cdot 36 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3,6 \ m/s^2\)

Da wir die Zugkraft aufgrund der Schwingbewegung berechnen, müssen wir im Falle von \(t = T/4\), bei dem die Beschleunigung maximal ist, berücksichtigen, wie die vertikale und horizontale Komponente der Zentripetalkraft zur Gesamtzugkraft beitragen.

Bei \(t = T/2\), \(t = 3/4T\), \(t = T\):

Ähnliche Berechnungen können für die anderen Zeitpunkte durchgeführt werden, indem der entsprechende Wert von \(t\) eingesetzt wird, um \(a(t)\) zu errechnen und somit \(F_z\) zu ermitteln. Beachte jedoch, dass bei \(t = T / 2\) und \(t = T\) die Sinusfunktion Werte von \(0\) ergibt, was bedeutet, dass die Zentralkraft in diesen Momenten nicht zur Zugkraft beiträgt.

10.2 Maximale Frequenz für die Schwingungsausführung:

Die maximale Frequenz, bis zu der die Schwingung gerade noch ausgeführt werden kann, hängt von der maximalen Beschleunigung ab, die der Körper erfahren kann, ohne dass die Zugkraft die Verbindung zum Exzenter übersteigt oder der Körper vom Boden abhebt. Diese Situation tritt ein, wenn die Zentralkraft \(F_z\) gleich der Gewichtskraft \(F_g\) ist, jedoch umgekehrt gerichtet, sodass \(F_g + F_z = 0\).

\(m_1 g = m_1 A_1 \omega^2 \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{g}{A_1}} = \sqrt{\frac{9,81}{0,1}} \ m/s^2\)

\( \Rightarrow \omega = \sqrt{98,1} \ s^{-1} \approx 9,9 \ s^{-1}\)

Die maximal mögliche Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist also ungefähr \(9,9 \ s^{-1}\), was der maximalen Frequenz entspricht, bis zu der die Schwingungen gerade noch ausgeführt werden können.
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