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Drehscheibenzerfall durch Eigengewicht (RPM)

wenn ich eine 5mm scheibe mit 20cm Durchmesser auf einer Achse beschleunige, wie viel RPM baucht es bis sich das material am Äußersten rand zersetzt (das Eigengewicht zu gros wird um sich zusammen zu Halten / in Einzelteile zerfällt)

material: aluminium, Glas, Stahl...

mit & ohne Ausdehnungs Berechnung

& davon ausgegangen das es nicht reißen / platzen / zerspringen würde.

falls die Antwort eine Komplexe Formel ist bitte ich um eine Stützschüler Erklärung in sofern es möglich ist.

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Drehscheibenzerfall durch Eigengewicht (RPM)

Wie geht der vonstatten? Du musst den Sachverhalt näher erklären.

Wann passiert wie was? Ich denke, dazu sind mehr Infos notwendig.

& davon ausgegangen das es nicht reißen / platzen / zerspringen würde

Man muss doch wohl gewisse Materialeigenschaften kennen, die angeben, welche maximalen Spannungen (Kraft/Fläche) das betreffende Material aushalten kann, bevor es eben etwa zerreißt !  Kannst du uns einen Link zu einer entsprechenden Tabelle angeben ?

es geht nur um die scheibe was am ende ein Supraleiter ist aber die dichte ist noch nicht bekannt

& die Temperatur auch noch nicht sicher 20 bis -200

das Metallgas wird aber extrem Hart & Spröde bei Raumtemperatur sein.

diese scheibe soll extreme Geschwindigkeiten aushalten deshalb brauche diese Berechnung

um genug Toleranz in den Umdrehungen einzurechnen & sicherzustellen dass sie nicht

platzt.

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welche werte muss ich wissen um so eine Berechnung Durchzuführen & wie

genau müssen diese werte sein um kein Risiko einzugehen (es ist ein Prototyp)

"es geht nur um die Scheibe was am ende ein Supraleiter ist aber die Dichte ist noch nicht bekannt. Wenn du nix genaues nicht über das Material weisst, also Zerreisßfestigkeit, Elastzitätsgrenze oder andere Eigenschaften noch nicht mal die Dichte wieso denkst du irgend jemand könnte so was rechnen oder wissen?

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Antwort mit KI erzeugt

Einführung

Um die Anzahl der Umdrehungen pro Minute (RPM) zu bestimmen, bei der eine Scheibe aus einem bestimmten Material durch das auf sie wirkende Eigengewicht zerfällt, müssen wir uns mit den Spannungen befassen, die in der Scheibe unter der Wirkung von Zentrifugalkräften entstehen. Die kritischen Spannungen, die ein Material aushalten kann, bevor es versagt, sind für Aluminium, Glas und Stahl unterschiedlich.

Grundlagen zur Berechnung

Die Zentrifugalspannung \(\sigma\) in einer rotierenden Scheibe lässt sich mit der Formel

\( \sigma = \rho \cdot \omega^2 \cdot r^2 \)

berechnen, wobei
- \(\rho\) die Dichte des Materials ist (kg/m³),
- \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit in rad/s,
- \(r\) der Radius an dem Punkt der Scheibe in Metern ist, an dem die Spannung berechnet wird.

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) kann aus der Drehzahl \(n\) (in RPM) durch die Gleichung

\( \omega = \frac{2 \pi n}{60} \)

umgerechnet werden. Um die Rechnungen zu vereinfachen, setzen wir zuerst \(r\) als Radius des äußersten Randes der Scheibe, also \(0.2\,m / 2 = 0.1\,m \).

Materialspezifikationen

Die kritische Spannung, bei der das Material zu zerfallen beginnt, variiert je nach Materialtyp. Lassen Sie uns diese Spannung als \(\sigma_{krit}\) definieren. Zu beachten ist, dass die genauen Werte für \(\sigma_{krit}\) von der Qualität des Materials, seiner Vorbehandlung und vielen anderen Faktoren abhängen können, daher dienen die hier genannten Werte nur als allgemeine Richtlinien:
- Aluminium: \(\sigma_{krit} \approx 400 - 600 \, \text{MPa}\)
- Glas: \(\sigma_{krit} \approx 50 - 100 \, \text{MPa}\)
- Stahl: \(\sigma_{krit} \approx 600 - 850 \, \text{MPa}\)

Zum Verständnis verwenden wir als Beispiel Aluminium mit \(\sigma_{krit} = 500 \, \text{MPa}\) und \(\rho = 2700 \, \text{kg/m}^3\).

Berechnung

1. Umstellung der Formel zur Berechnung von \(n\):

Aus \(\sigma = \rho \cdot \omega^2 \cdot r^2\) und \(\omega = \frac{2 \pi n}{60}\) ersetzen wir \(\omega\) in der ersten Formel und lösen nach \(n\) auf:

\( n = \frac{60}{2\pi} \sqrt{\frac{\sigma}{\rho \cdot r^2}} \)

2. Einsetzen der Werte für Aluminium:

Mit \(\rho = 2700 \, \text{kg/m}^3\), \(\sigma = 500 \times 10^6 \, \text{Pa}\), und \(r = 0.1\,m\),

\( n = \frac{60}{2\pi} \sqrt{\frac{500 \times 10^6}{2700 \cdot (0.1)^2}} \approx \frac{60}{2\pi} \sqrt{\frac{500 \times 10^6}{27}} \approx \frac{60}{2\pi} \sqrt{18518518.52} \)

\( \approx \frac{60}{2\pi} \cdot 4303.4 \approx 41034.3 \, \text{RPM} \)

Das bedeutet, dass unter Annahme der vereinfachten Annahmen und Werte eine Aluminiumscheibe mit einem Durchmesser von 20cm und einer Dicke von 5mm bei etwa 41034 RPM anfingen würde, sich aufgrund der entwickelten Zentrifugalspannungen zu zersetzen.

Schlussfolgerung

Es ist wichtig zu erwähnen, dass die berechnete RPM stark von den angenommenen kritischen Spannungswerten abhängt, und in der Praxis könnten Imperfektionen in der Materialstruktur und der Aufbau der Scheibe (z.B. Einschlüsse oder Oberflächenbeschaffenheit) zu einem früheren Versagen führen. Materialausdehnung unter der Wirkung von Zentrifugalkräften und Temperatur wurde in dieser Berechnung nicht berücksichtigt, würde aber in einer genaueren Analyse die kritische RPM weiter beeinflussen.

Zum Abschluss muss betont werden, dass diese Berechnung eine vereinfachte Annäherung darstellt und für eine präzisere Vorhersage des Zerfallsverhaltens einer Scheibe unter Zentrifugalkraft eine detaillierte mechanische und materialwissenschaftliche Analyse erforderlich wäre.
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