Aufgabe:
Unter der Verwendung der Einstein'sche Summenkonvention berechnen Sie die Formel ϵ_{ilm}ϵ_{jlm}. Was bekommen Sie als Resultat? Mein Ergebnis 3δ_{ij} unten der Rechenweg ist das richtig so?
Problem/Ansatz:
1. Schritt
ϵ_{ilm}ϵ_{jlm} = ϵ_{i11}ϵ_{j11} + ϵ_{i12}ϵ_{j12} + ϵ_{i13}ϵ_{j13} + ϵ_{i21}ϵ_{j21} + ϵ_{i22}ϵ_{j22} + ϵ_{i23}ϵ_{j23} + ϵ_{i31}ϵ_{j31} + ϵ_{i32}ϵ_{j32} + ϵ_{i33}ϵ_{j33}
2. Schritt
ϵ_{i11}ϵ_{j11} = δ_{ij}δ_{11}δ_{11}
ϵ_{i12}ϵ_{j12} = δ_{ij}δ_{12}δ_{12}
ϵ_{i13}ϵ_{j13} = δ_{ij}δ_{13}δ_{13}
ϵ_{i21}ϵ_{j21} = δ_{ij}δ_{21}δ_{21}
ϵ_{i22}ϵ_{j22} = δ_{ij}δ_{22}δ_{22}
ϵ_{i23}ϵ_{j23} = δ_{ij}δ_{23}δ_{23}
ϵ_{i31}ϵ_{j31} = δ_{ij}δ_{31}δ_{31}
ϵ_{i32}ϵ_{j32} = δ_{ij}δ_{32}δ_{32}
ϵ_{i33}ϵ_{j33} = δ_{ij}δ_{33}δ_{33}
3. Schritt
ϵ_{i11}ϵ_{j11} = δ_{ij}
ϵ_{i12}ϵ_{j12} = 0 (da δ_{12} = 0, da i ≠ j)
ϵ_{i13}ϵ_{j13} = 0 (da δ_{13} = 0, da i ≠ j)
ϵ_{i21}ϵ_{j21} = 0 (da δ_{21} = 0, da i ≠ j)
ϵ_{i22}ϵ_{j22} = δ_{ij}
ϵ_{i23}ϵ_{j23} = 0 (da δ_{23} = 0, da i ≠ j)
ϵ_{i31}ϵ_{j31} = 0 (da δ_{31} = 0, da i ≠ j)
ϵ_{i32}ϵ_{j32} = 0 (da δ_{32} = 0, da i ≠ j)
ϵ_{i33}ϵ_{j33} = δ_{ij}
4. Schritt
ϵ_{ilm}ϵ_{jlm} = δ_{ij} + δ_{ij} + δ_{ij} =3δ_{ij}
