Hallo an alle,
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich gerne um Feedback gebeten hätte bezüglich meines Lösungsansatzes. Die Aufgabe geht wie folgt:
Mit dem dualen Feldstärketensor \( \tilde{F}^{\mu \nu}=\frac{1}{2} \varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} F_{\rho \sigma} \) kann der Lorentz-invariante Term \( \tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \) gebildet werden. Dennoch ist dieser Term nicht Teil des klassischen Elektrodynamik Lagrangians. Ziel der Übung ist es zu verstehen, wieso \( \tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \) in der klassischen Elektrodynamik (ohne Quantenmechanik) keine Rolle spielt.
Zeigen Sie dafür, dass
\(\tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu}=\partial_{\rho}\left(\varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} A_{\sigma} F_{\mu \nu}\right) \text {. }\)
Es ist hilfreich, zunächst
\(\tilde{F}^{\mu \nu}=\partial_{\rho}\left(\varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} A_{\sigma}\right)\)
zu beweisen.
Was können Sie aus (1) für die Relevanz des Terms \( \bar{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \) für die Wirkung und die Bewegungsgleichungen schließen?
Jetzt meine Ansätze:
Mit Beachtung des Tipps ist erstmal zu Zeigen, dass: \(\tilde{F}^{\mu \nu}=\partial_{\rho}\left(\varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} A_{\sigma}\right)\)
Es gilt ja per Definition:
(1) \(\tilde{F}^{\mu \nu} = \frac{1}{2} * \varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} F_{\rho \sigma} \) und
(2) \(\ F_{\rho \sigma} = \partial_{\rho} A_{\rho} - \partial_{\sigma} A_{\sigma} \)
Mit (2) in (1): \(\tilde{F}^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \partial_{\rho} A_{\rho} - \partial_{\sigma} A_{\sigma} = \frac{1}{2} \partial_{\rho} A_{\rho} - \frac{1}{2} \partial_{\sigma} A_{\sigma} \)
Wie man dadurch jedoch auf die zu zeigenende Gleichung kommt, ist mir noch nicht bewusst, vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen :). Die endgültige Gleichung hätte ich dann so begründet, dass, wenn man beide Tensoren multipliziert immer die Summe der partiellen Ableitung jedes Elements ergibt, dass alles zusammengefasst mit \(\tilde{F}^{\mu \nu} F_{\mu \nu}=\partial_{\rho}\left(\varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} A_{\sigma} F_{\mu \nu}\right) \text {. }\) beschrieben werden kann
Ich bedanke mich bei euch schonmal für jede Hilfe :)
