Aufgabe:
Für einen Massenpunkt der Masse \( m \) lautet die Lagrangefunktion in kartesischen Koordinaten \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \)
\( L\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dot{x}_{1}, \dot{x}_{2}, \dot{x}_{3}\right)=\frac{m}{2} \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i}^{2}+q \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i} A_{i}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \)
mit einer Konstanten \( q \) und einem Vektorfeld \( \vec{A}=\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right) \)
(a) Schreiben Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen aus. Vergleichen Sie mit der Lorentzkraft \( \vec{F}=q \vec{v} \times \vec{B}, \) die auf ein Teilchen mit elektrischer Ladung \( q \) in einem Magnetfeld \( \vec{B} \) wirkt.
(b) Bestimmen Sie die zu den \( x_{i} \) kanonisch konjugierten Impulse \( p_{i} \) und die Hamilton-
\( \text { funktion } H\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \text { . } \)
Zu dieser Aufgabe habe ich ein Kapitel zu Poissonklammern und kanonischen Transformationen durchgearbeitet, was hier vielleicht hilfreich wäre. Im Hamiltonformalismus führt man ja als mathematisches Hilfsmittel die Poissonklammern ein. Dabei handelt es sich um eine Abbildung, die zwei Funktionen auf dem Phasenraum wieder auf eine Funktion auf dem Phasenraum abbildet. Die Funktionen dürfen auch explizit von der Zeit abhängen. Leider kann ich daraus nicht ganz folgern, wie man daraus die kanonisch konjugierten Impulse bestimmt.
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte!
