Welche Schwingungsdauer Ts haben diese Schwingungen?

Question

Aufgabe:

Eine massive zylindrische Metallstange (Durchmesser D = 20, 0 mm) hängt an einem Faden aus gummiartigem Kunststoff (kreisrunder Querschnitt, Durchmesser d_F = 2, 50 mm), und zwar mittig an einem Ende so, dass sie senkrecht nach unten hängt.

Wenn man die Stange um diese Symmetrieachse verdreht, fuhrt sie Torsionsschwingungen aus mit der Periodendauer T_T = 12, 5 s. Wenn man die Stange hingegen leicht nach unten zieht, sodass sich der Gummifaden ein wenig dehnt, fuhrt sie Auf-und-ab-Schwingungen aus (so ähnlich wie an einer Spiralfeder). Welche Schwingungsdauer T_s haben diese Schwingungen?

Daten: Das Material des Fadens hat die Poissonzahl ν_F= 0, 380.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Schwingungsdauer der Auf-und-ab-Schwingungen

Um die Schwingungsdauer \(T_s\) der Auf-und-ab-Schwingungen zu berechnen, können wir annehmen, dass der Gummifaden sich ähnlich einer idealen Feder verhält. Die Schwingungsdauer \(T_s\) eines Federpendels lässt sich mit der Formel

\( T_s = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \)

berechnen, wobei \(m\) die Masse des schwingenden Körpers (in diesem Fall die Masse der Metallstange) und \(k\) die Federkonstante des Gummifadens ist. Da uns die Masse \(m\) der Stange nicht direkt gegeben ist, aber auch nicht für die Berechnung der Schwingungsdauer \(T_s\) der Auf-und-ab-Schwingungen benötigt wird, da diese durch die Eigenschaften des Gummifadens bestimmt wird, können wir uns direkt auf die Berechnung oder Bestimmung der Federkonstante \(k\) konzentrieren.

Die Federkonstante \(k\) eines Materials lässt sich mithilfe des Young-Moduls \(E\) und der geometrischen Abmessungen des Materials berechnen. Die allgemeine Beziehung für die Federkonstante eines zylindrischen Stabes oder Fadens aus elastischem Material lautet

\( k = \frac{EA}{L} \)

wobei \(E\) das Young-Modul des Materials ist, \(A\) die Querschnittsfläche des Fadens und \(L\) die Länge des Fadens. Leider ist das Young-Modul des Gummifadens (\(E\)) nicht direkt angegeben, und ohne diesen Wert können wir \(k\) nicht berechnen. Die Poissonzahl \(ν_F= 0,380\) gibt uns allein nicht genügend Information, um \(E\) oder \(k\) direkt zu bestimmen.

Also, ohne die genauen Materialeigenschaften (wie das Young-Modul) oder die Länge des Gummifadens, können wir nicht direkt die Federkonstante \(k\) bestimmen und somit auch nicht die Schwingungsdauer \(T_s\) der Auf-und-ab-Schwingungen berechnen.

In diesem speziellen Szenario fehlen uns entscheidende Informationen zur Berechnung von \(T_s\). Um die Schwingungsdauer \(T_s\) korrekt zu bestimmen, benötigt man entweder direkte Daten über das Young-Modul des Gummimaterials oder eine experimentelle Methode, um die Federkonstante \(k\) zu messen, wie z.B. die Durchführung eines Zugversuchs oder die Messung der Auslenkung unter bekannten Lasten.