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Aufgabe:


b) Zeigen Sie mit Hilfe des Newton’schen Gesetzes, dass die Auslenkungen aus der Ruhelage durch das folgende DGL System beschrieben werden kann
$$ \begin{pmatrix} \ddot{x_{1} }(t) \\ \ddot{x_{2} }(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{k1+k2}{m}  & \frac{k2}{m}\\ \frac{k2}{m}  & -\frac{k1+k2}{m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}(t)  \\ x_2 (t)\end{pmatrix} $$


c) Bestimmen Sie die Eigenwerte λ1,λ2 und die zugehörigen Eigenvektoren v1, v2 der Koeffizientenmatrix.

d) Die allg. Lösung für die Orte (x1,x2)^T kann ebenfalls mit den Eigenwerten und -Vektoren angegeben werden

$$ \begin{pmatrix} x_1(t)\\x_2(t) \end{pmatrix} = C_1*\vec{v}_1*e^{α_1t}+C_2*\vec{v}_1*e^{-α_1t}+C_3*\vec{v}_2*e^{α_2t}+C_4*\vec{v}_2*e^{-α_2t} $$

wobei \( C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} \in \mathbb{C} \) und \( \alpha_{1}=\sqrt{\lambda_{1}}, \alpha_{2}=\sqrt{\lambda_{2}} \) ist.
Warum erhält man durch diesen Zusammenhang zwischen \( \alpha \) und den Eigenwerten \( \lambda \) die Lösung des DGL-Systems?


Problem/Ansatz:

Lösung zu b) $$ m*(\ddot{x_1} +\ddot{x_2}) + k_1*(x_1+x_2)=0$$
$$m*(\ddot{x_1} -\ddot{x_2}) + k_1(x_1-x_2)+2*k(x_1-x_2)=0 $$


daraus folgt


\( \ddot{x}_{1} =\frac{-k_{1} x_{1}}{m}-\frac{k_{1} x_{2}}{m}-\ddot{x}_{2} \quad \ddot{x}_{2} =\ddot{x}_{1}+\frac{k_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)+2 k_{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)}{m} \)


Ich bin mir aber nicht sicher, ob das dem DGL System gleicht, welches in b) dargestellt ist

Anmerkung zu c) ich wollte es mit dem Charakteristischen Polynom versuchen, komme aber nicht weiter da ich mir sehr unsicher bei den NS bin. zudem habe ich 4 Lsgen erhalten. selbst wenn diese richtig sein sollten, weiß ich nichts mit 4 Lsgen anzufangen

Anmerkung zu d) dort fehlt mir jeglicher Ansatz

von

Hallo

um deine Dgl zu kontrollieren müsste man die Aufgabe kennen,

du kannst ja die Matrix ausmultiplizieren und daraus die Differenz und Summe ausrechnen-

zu d) setzt doch mal die Lösung ein! die Wurzel kommt durch das 2 malige Ableiten.

Gruß lul

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