Antwort mit KI erzeugt
Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
Um die Eigenfrequenz (\(\omega_{0}\)) des ungedämpften Systems zu ermitteln, nutzen wir die Beziehung, die Periode \( T \) mit der Eigenfrequenz verbindet. Die Formel lautet:
\(
\omega_{0} = \frac{2\pi}{T}
\)
Gegeben ist \( T = 0,38s \). Setzen wir diesen Wert in die Formel ein:
\(
\omega_{0} = \frac{2\pi}{0,38s} \approx \frac{6,2832}{0,38s} \approx 16,54 \, \text{rad/s}
\)
Eigenfrequenz des gedämpften Systems
Für die Eigenfrequenz (\(\omega\)) des gedämpften Systems verwenden wir die gegebenen Formeln nicht direkt, sondern gehen erst über die Berechnung der Dämpfungsmaße und der Abklingkonstante.
Logarithmisches Dekrement
Um das logarithmische Dekrement \( \Lambda \) zu berechnen, verwenden wir die Amplituden von zwei aufeinanderfolgenden Wellenbergen \( x_1 \) und \( x_2 \):
\(
\Lambda = \ln\left(\frac{x_1}{x_2}\right)
\)
Mit \( x_1 = 0,9 mm \) und \( x_2 = 0,65 mm \) ergibt das:
\(
\Lambda = \ln\left(\frac{0,9}{0,65}\right) \approx \ln(1,3846) \approx 0,324
\)
Lehrsche Dämpfung \( D \)
Das logarithmische Dekrement \( \Lambda \) und die Lehrsche Dämpfung \( D \) sind durch die folgende Gleichung verbunden, die aus der Formel \( \Lambda=2 \pi \frac{D}{\sqrt{1-D^{2}}} \) umgeformt wurde:
\(
D = \frac{\Lambda}{\sqrt{4\pi^2 + \Lambda^2}}
\)
Einsetzen der Werte liefert:
\(
D = \frac{0,324}{\sqrt{4\pi^2 + 0,324^2}} \approx \frac{0,324}{\sqrt{39,4784 + 0,104976}} \approx \frac{0,324}{\sqrt{39,5834}} \approx \frac{0,324}{6,29} \approx 0,0515
\)
Abklingkonstante \( \delta \)
Die Abklingkonstante \( \delta \) kann direkt mit der Formel \( \delta=D \cdot \omega_{0} \) berechnet werden. Mit den oben gefundenen Werten:
\(
\delta = 0,0515 \cdot 16,54 \, \text{rad/s} \approx 0,852 \, \text{rad/s}
\)
Eigenfrequenz des gedämpften Systems \( \omega \)
Nun können wir die Eigenfrequenz des gedämpften Systems mit der Formel \( \omega=\omega_{0} \sqrt{1-D^{2}} \) berechnen. Dafür setzen wir die Werte ein:
\(
\omega = 16,54 \sqrt{1-0,0515^{2}} \approx 16,54 \sqrt{1-0,002653} \approx 16,54 \sqrt{0,997347} \approx 16,53 \, \text{rad/s}
\)
Zusammenfassung der Ergebnisse:
-
Eigenfrequenz des ungedämpften Systems \( \omega_{0} \approx 16,54 \, \text{rad/s} \)
-
Eigenfrequenz des gedämpften Systems \( \omega \approx 16,53 \, \text{rad/s} \)
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Lehrsche Dämpfung \( D \approx 0,0515 \)
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Abklingkonstante \( \delta \approx 0,852 \, \text{rad/s} \)
Diese Werte beschreiben die Eigenschaften des schwingungsfähigen Systems basierend auf den gegebenen Schwingweg-Zeitverläufen und der angenommenen Periode sowie Amplituden.
