0 Daumen
138 Aufrufe

Aufgabe: Flugbahn von zwei geladenen Teilchen berechnen


Problem/Ansatz: Ich moechte die Flugbahn von zwei geladenen Teilchen berechnen.

Exakt: Fuer einen bestimmten Zeitpunkt t moechte ich die exakten 3 dimensionalen Koordinaten

berechnen. Zwei geladene Teilchen (siehe Skizze unten) mit der Masse m1 und m2

und der Ladung Q1 und Q2 bewegen sich zum Zeitpunkt t0 mit den Geschwindigkeiten v1 und v2.

Zu diesem Zeitpunkt t0 befinden sie sich an den Orten P1(x,y,z)  und P2(x,y,z).

Auch die Geschwindigkeiten sind Vektoren.

Auf die Teilchen wirkt die Kraft  F (Coulombkraft) . ( Die Teilchen stossen sich ab; sind beide

positiv geladen)


                             F= k * (Q1*Q2) / d2

wobei d der momentane Abstand zwischen den Teilchen ist. Durch die Kraft F veraendern

sich die Geschwindigkeitsvektoren v1 und v2 staendig. Durch das 2. Newton´sche Gesetz

( F= m*a) wissen wir, dass ein Koerper mit der Masse m, auf den die Kraft F einwirkt,

eine Beschleunigung a erfaehrt. So haben wir fuer Teilchen 1 : a1= F/mbzw a2= F/m2

Setzen wir fuer F obige Formel ein, erhalten wir a1=k*(Q1*Q2) / (m1 * d2).

Dieses a1 bzw averaendert jetzt v1 bzw v2.

Wie kann ich jetzt fuer einen bestimmen Zeitpunkt den Ort der Teilchen berechnen ?

Ich habe mir folgendes ueberlegt: Zum Anfangszeitpunkt t0 kenne ich die genauen Koordinaten

der Teilchen, ich kenne v1 und v2 und auch a1 und a2. Fuer ein sehr kurzes Zeitintervall Δt koennte

ich nun die veraenderte Geschwindigkeit v1a berechnen :

     v1a = v1*a1*Δt

Aber mein Problem ist, waehrend Δt ist a1 nicht konstant, sondern aendert sich auch,

weil sich die Teilchen ja bewegen. Der Fehler ist zwar umso kleiner je kleiner ich Δt waehle,

aber exakt ist das nicht.

Koennte diese Aufgabe mit einer Differentialgleichung geloest werden ?

Die Ableitung von v1 sollte a1 sein.   v1´ = a1

Aber v1 ist ja ein Vektor. Irgendwie steh ich an. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen  ??  :))


liebe Gruesse

Andreas / Wien

ladungen1.jpg

Text erkannt:

\( \frac{F}{+\frac{+m_{j}}{d}+} \underbrace{v_{1}}_{d_{i}+i_{2}} \)

von

1 Antwort

0 Daumen

Hallo,

ja, das läuft auf das lösen einer Differentialgleichung hinaus.

Das ist ein klassisches Zweikörperproblem. Das löst man durch Übergang zu Schwerpunkt- und Relativkoordinaten.

Das hier alles aufzuschreiben ist relativ umständlich.

Da die Coulombkraft dieselbe Abhängig vom Abstand aufweist wie die Gravitationskraft, läuft es auf das Keplerproblem heraus.

Schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Zweik%C3%B6rperproblem

oder hier ganz ausführlich ;)

https://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/HD_Kepler.pdf

von 2,4 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Nanolounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community