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Aufgabe:

Die Sonne strahlt der Erde rund 1400 \(\displaystyle\frac{W}{m^2}\) zu (Solarkonstante). Wie groß sind E, D, B und H (Effektiv- und Maximalwerte)?


Problem/Ansatz:

\(\displaystyle\vec S=\vec E\times\vec H=E_0H_0sin(kz-\omega t)\), da E und H senkrecht zueinander stehen.
\(\displaystyle\vec D=\epsilon_0\cdot\vec E\) und \(\displaystyle\vec B=\mu_0\cdot\vec H\)
Wie mache ich ab hier weiter?

Aus den Kommentaren:

Das E-Feld und H-Feld sind beides Wellen, die senkrecht aufeinander stehen und sin(kz-ωt) stellt diese Wellen dar. Damit wird sin(kz-ωt) mit sin(kz-ωt) multipliziert. E_{0} bzw. H_{0} sind jeweils die Amplituden.
S=Solarkonstante, E=elektrische Feldstärke, D=elektrische Flussdichte, H=magnetische Erregung, B=magnetische Flussdichte, ε_{0}=elektrische Feldkonstante=8,854*10^{-12}As/(Vm), μ_{0}=magnetische Feldkonstante=1,257*10^{-6}Vs/(Am), c=Lichtgeschwindigkeit

von

Ich sehe gerade, dass deine Frage noch offen ist. Hat sich das Problem erledigt? Wie bist du vorgegangen?

\(\displaystyle\vec S=\vec E\times\vec H=E_0H_0\sin^2(kz-\omega t)\)
Dann habe ich mir für die Maximalwerte überlegt, dass \(\displaystyle\sin(kz-\omega t)=1\) gelten müsste und damit \(\displaystyle S=E_0H_0\).
Nun gilt \(\displaystyle B_0=\mu_0H_0\ \wedge\ \frac {B_0}{E_0}=\frac1c=\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\ \Rightarrow\ E_0=B_0c=\frac{\mu_0H_0}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\).
Damit wäre \(\displaystyle S=\frac{\mu_0H_0^2}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\ \Leftrightarrow\ H_0=\sqrt\frac{S\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}{\mu_0}=1,93\frac Am\).
Mit \(\displaystyle H_{eff}=\frac{H_0}{\sqrt2}=1,36\frac Am\). Für den Rest oben die berechneten Werte einsetzen.

Das Problem dabei ist, dass es falsch ist und ich nicht weiß wieso. Meine errechneten Maximalwerte sind die richtigen Effektivwerte (also H_{0}=1,36A/m wäre richtig).

Rein mathematisch: Woher hast du das Quadrat beim Sinus in der ersten Zeile? Ich nehme mal an, das ist en Druckfehler. Mit den verwendeten Abkürzungen können allenfalls Physiker etwas anfangen.

Das E-Feld und H-Feld sind beides Wellen, die senkrecht aufeinander stehen und sin(kz-ωt) stellt diese Wellen dar. Damit wird sin(kz-ωt) mit sin(kz-ωt) multipliziert. E_{0} bzw. H_{0} sind jeweils die Amplituden.
S=Solarkonstante, E=elektrische Feldstärke, D=elektrische Flussdichte, H=magnetische Erregung, B=magnetische Flussdichte, ε_{0}=elektrische Feldkonstante=8,854*10^{-12}As/(Vm), μ_{0}=magnetische Feldkonstante=1,257*10^{-6}Vs/(Am), c=Lichtgeschwindigkeit

Bei der Definition des Kreuzprodukts zweier Vektoren kommt aber sinus nicht im Quadrat vor.

Da \(\displaystyle|\vec E|=E_0\sin(kz-\omega t)\) und \(\displaystyle|\vec H|=H_0\sin(kz-\omega t)\) und beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen, gilt \(\displaystyle|\vec S|=|\vec E\times\vec H|=|\vec E|\cdot|\vec H|\cdot\underbrace{\sin(90°)}_1=E_0\sin(kz-\omega t)\cdot H_0\sin(kz-\omega t)=E_0H_0\sin^2(kz-\omega t)\).

Das ist auch nicht das Problem, da ich den Sinus gleich 1 setze, dass es dem Maximum entspricht.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

Schaul mal hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Poynting-Vektor

Da stehen Formeln für die Maximal und Effektivwerte.

von 2,2 k

Die Formel \(\displaystyle|\vec S|=\frac{|\vec E|^2}{\mu_0c}\) habe ich auch zum Lösen verwendet (siehe Herleitung oben für \(\displaystyle H_0\)).
Leider weiß ich nicht, was der zeitliche Mittelwert der Strahlungsdichte sein soll und ohne Herleitung bringt mir das nichts. Aber so wie es aussieht läuft mein Ansatz und die Aufgabe genau darauf hinaus. Die Frage die sich mir stellt, ist: Wenn ich den sin gleich 1 setze, sollten die Wellen ihr Maximum annehmen, diese sind hier \(\displaystyle E_0\) und \(\displaystyle H_0\). Wieso ist dann aber \(\displaystyle S=E_\text{eff}H_\text{eff}=1400\frac W{m^2}\)?
Wenn ich zeigen könnte, warum diese Gleichung gilt, hat sich mein Problem erledigt. Dann würde in meiner Rechnung oben statt den Maximalwerten die Effektivwerte stehen und die Ergebnisse stimmen (und mit dem Wiki-Artikel übereinstimmen).

Der zeitliche Mittelwert von |S| ist

S_Tilde = 1/T Integral (0 bis T) S(0,t)dt

Die Solarkonstante entspricht dem zeitlich gemittelten Wert.

Danke, den Hinweis habe ich gebraucht. Jetzt stimmt alles.

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