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Aufgabe:

Die Divergenz ∇⋅F(r ) gibt die Quellstärke eines Vektorfeldes F(r) an. Es gilt:

()=(d/dx)*F+(d/dy)*F+(d/dz)*F ,
wobei Fx(r), Fy(r), Fz(r) die Komponenten des Vektorfeldes sind. Das Ergebnis ist also ein skalares Feld! Bestimmen Sie die Divergenz der Felder
a) F(r)=(xy,xz,x2*z2)
b) F(r)=r/|r|


Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich diese Aufgabe löse, also Lösung mit Kommentaren zu jedem Schritt? Vielen Dank im Voraus und Grüße

von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

a) ist einfach jede Komponente partiell nach ihrer Koordinate ableiten und aufsummieren.

Div F= y+0+2x^2*z

b) hier schreibst  du erst um zu

F=(x,y,z)/(sqrt(x^2+y^2+z^2))

und leitet nach der Quotientenregel ab.

Z.B der erste Summand ist

d/dx  (x/sqrt(x^2+y^2+z^2))

=(sqrt(x^2+y^2+z^2) -x^2/sqrt(x^2+y^2+z^2))/(x^2+y^2+z^2)

=(r-x^2/r)/(r^2)=(r^2-x^2)/r^3

Die anderen beiden Ableitungen gehen genauso, nur dass da statt -x^2 jeweils -y^2 bzw. -z^2 steht. Wenn man alles aufsummiert hat man also

Div F=(3r^2 -x^2-y^2-z^2)/r^3

=2r^2/r^3 =2/r

von 2,2 k

Herzlichen Dank!!!

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Hallo

was du aufgeschrieben hast ist so falsch, ich bezeichne die 3 Komponenten von F mit F=(F1,F2,F3= es wird F1 nach x, F2 nach y F3 nach z abgeleitet, also bei dir F1=xy , dF1/dx=y F2=xz dF2/dy=0, F3=x^2*z^2,  dF3/dz=2x^2*z

die Summe der 3 ist die Divergenz also divF=y+2x^2*z

jetzt bist du mit der zwoten dran F1=x/√(x^2+y^2+z^2) usw das nach x ableiten usw.

Gruß lul

von 10 k

Vielen Dank für Ihre Antwort, eine Frage nur:

ist F1=x/√(x²+y²+z²) die Lösung zur Teilaufgabe b)? Ich habe da doch den Vektor r/lrl

Hallo

 nein, natürlich ist das nicht die Lösung, ich hab dir nur F1 hingeschrieben, , ableiten nach x musst du selbst, ebenso F2 und F3 aufschreiben und nach y bzw z ableiten. Die Frage zeigt irgendwo, dass du auch was ich zuvor gezeigt habe nicht wirklich nachvollzogen hast? aber Gast hat dir das doch schon geschrieben.

lul

Ja, leider tue ich mich ganz schwer mit diesem Thema, vielen Dank für Ihre Erklärungen!

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