Hallo Tobi,
der erste Schritt wäre, die Variable \(v(t)=\dot h(t)\) einzuführen. Aus \(\ddot h (t)=-g\) folgt dann
$$\dot v(t) = -g$$
einfach zu lösen durch Integrieren über der Zeit \(t\) - macht
$$v(t) = \int -g \space \text{d}t = -g\cdot t +v_0$$
Jetzt berücksichtige ich noch, dass \(\dot h(t)=v(t)\) ist. D.h. ich setze \(\dot h(t)\) für \(v(t)\) ein
$$\dot h(t) = -g\cdot t +v_0$$
und wieder über \(t\) integrieren
$$h(t) = \int -g\cdot t +v_0 \space \text{d}t = -\frac12 g \cdot t^2 + v_0 \cdot t + h_0$$
und man hat die Lösung der DGL \(\ddot h(t) = -g\).
Gruß Werner
