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Hi Leute,

ich stehe vor einem Problem. Undzwar soll ich folgende Lösung.
Die Entladezeitkonstante \tau eines Kondensators in einem RC-Kreis ist die Zeit, in der sich der Kondensator auf e^{-1} (entsprechend 0,368) seinerAusgangsladung bei t = 0 entlĂ€dt. FĂŒr einen Kondensator ist \tau = 1s. In welcher Zeit t (in Sekunden) hat der sich der Kondensator auf 50,0% seiner Anfangsladung entladen ?

Hier weiss gar nicht wie ich hierbei heran gehen soll. Bin gerade im Kapitel Differenzialrechnung und da wurde auch schon auf den radioaktiven Zerfall hingewiesen. Jetzt weiss ich gar nicht wie ich anfangen soll, vielleicht kann mir hier jemand helfen :\

VG :)

von

2 Antworten

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Hallo Hulli_Gulli,

Bin gerade im Kapitel Differenzialrechnung

dann versuche ich es mal, es Dir darĂŒber zu erklĂ€ren. Die Ladung \(Q\)  ist proportional zur Spannung \(U\). Es gilt \(Q=C \cdot U\). Die 'Geschwindigkeit' der Entladung \(\dot Q\) ist der Strom \(I\), der durch den Widerstand (ab)fließt. Und dieser ist direkt proportional zu der Spannung \(U\) die am Widerstand und damit am Kondensator anliegt. D.h. die Änderung der Ladung ist proportional zur Ladung selbst: $$\dot Q  \propto Q$$ oder genauer: $$\dot Q = I = \frac{U}{R} = \frac{Q}{R \cdot C}$$

Das ist eine Differentialgleichung (DGL), deren Lösung eine e-Funktion ist. FĂŒr \(Q(t \to \infty) = 0\) gilt:

$$Q(t) = Q_0 \cdot e^{\frac{-t}{T}} \quad \text{mit } T=R \cdot C$$

Die Entladezeitkonstante \(\tau\) eines Kondensators in einem RC-Kreis ist die Zeit, in der sich der Kondensator auf \(e^{-1}\) (entsprechend 0,368) seinerAusgangsladung bei t = 0 entlÀdt.

... dann ist hier das \(\tau\) gleich dem \(T\) in der Gleichung oben; denn: $$Q(\tau)= Q_0 \cdot e^{\frac{-\tau}{T}} = Q_0 \cdot e^{-1} \quad \Rightarrow \frac{-\tau}{T}= -1 \space \Rightarrow \tau = T$$ und um auf die eigentliche Aufgabe zurĂŒck zu kommen: $$Q_{50} = Q_0 \cdot e^{\frac{-t_{50}}{\tau}} = \frac12 Q_0 \\ \space \Rightarrow t_{50} = -\tau \ln(\frac12) = \tau \ln(2) \approx 1\text{s} \cdot 0,69 = 0,69\text{s}$$

von 4,4 k

Der mittlere Teil sagt mir was ^^. Das habe ich schon ma bei der Laplace Transformation gesehen. Habe ich auch nicht verstanden hahaha. Du hast es ziemlich ausfĂŒrlich beschrieben aber ich kann mit dem Aufgabentext einfach nichts anfangen. Der Aha Effekt bleibt bei mir irgendwo aus. Wenn ich mir die mittlere Stelle lese das Tau = T ist. Das verstehe ich nicht, das Q(tau) jetzt sein ist und das Q(tau) = Q0 * e^{-tau/T} = e^{-1} ist. Also das e^{-1} = e^{-Tau/T} sein soll verstehe ich nicht aus dem Text. Das scheint mir ziemlich viel zu sein. Hmm ich kann erkennen das du mit der rechten Rechnung im mittleren Bereich, zeigen wolltest das Tau = T ist aber ich verstehe nicht woher man das erkennt das Tau = T sein soll. Auch wenn ich noch offt die Aufgabenstellung lese. Der obere Teil war ja nur zur Verdeutlichung des DGL's das sehe ich ja denoch versuche ich zu verstehen warum man das da an der Stelle macht.

Also einmal den mittleren Teil + Aufgabenstellung verstehe ich in dem Zusammenhang nicht und der Schlussteil. Eigentlich so ziemlich alles habe ich nicht verstanden haha :D

Hallo Hulli_Gulli,

ich kann mit dem Aufgabentext einfach nichts anfangen. .... Eigentlich so ziemlich alles habe ich nicht verstanden

es wĂ€re hilfreich, wenn Du konkrete Fragen stellen wĂŒrdest. Kennst Du die Sesamstraße?


Fange ich mal mit der Aufgabestellung an:

Die Entladezeitkonstante \(\tau\) eines Kondensators in einem RC-Kreis ist die Zeit, in der sich der Kondensator mit der KapazitÀt \(C\) auf \(e^{-1}\) (entsprechend 0,368) seiner Ausgangsladung \(Q_0\) bei t = 0 entlÀdt.

Weißt Du was ein Kondensator ist?

Was ist ein RC-Kreis?

Was ist die Ladung \(Q\) eines Kondensators?

Was ist das \(e^{-1}\)-fache seiner Ausgangsladung \(Q_0\)?


Welche von diesen Fragen kannst Du nicht ausreichend beantworten?

Gruß Werner

Also die Ladung Q ist C * U also Coloumb * Spannung U.

Ein Kondensator hat in einem Schaltkreis das Zeichen C und steht fĂŒr die KapazitĂ€t. Also die Begriffe sind mir schon bewusst. RC heisst in diesem Fall Widerstand und Kondensator behafteter Schaltkreis. Ich glaube es ist eher der Text.

Vielleicht muss man sich das einfach mal bildlich vorstellen oder ???.

Also e^{-1} ist als graph die e Funktion aber an der Hauptdiagonale gespiegelt. und konvergiert mit t -> unendlich gegen 0, als falls der Wert im exp("Wert") unendlich ist also fĂŒr t -> unendlich geht exp(t=unendlich) gegen null. Aber das e^{-1} fache seiner Ausgangsladung Q0... ??? keine Ahnung hmm.

Ich fang ma mit einer Skizze an.

Also e-1 ist als graph die e Funktion ...

Nein - \(e\) ist eine Konstante \(e \approx 2,72\) und \(e^{-1}\) ist der Kehrwert dieser Konstante \(\frac{1}{e} \approx 0,368\)

... aber an der Hauptdiagonale gespiegelt

Wenn \(f(x)=e^{-x}\), dann ist es eine Funktion (von \(x\)) und diese ist die Spiegelung der e-Funktion \(f(x)=e^x\) an der Y-Achse.


Ich fang ma mit einer Skizze an.

Das ist eine super Idee!

Scan.jpg Da im Buch hier von Lambda(Zerfallskonstante) die Rede ist, weiss ich nicht was ich dafĂŒr einsetzen soll. An der Stelle steht fĂŒr Lambda das Lambda mit der Halbwertszeit zusammenhĂ€ngt. Also
Bsp:
daum_equation_1532557195249.png

daum_equation_1532557286191.png

Wie groß soll denn die Zerfallskonstante lambda sein ??

VG :)

Vielleicht könntest du mir dann auch mit der Aufgabe da drunter helfen.

Es geht um Exponentielles Wachstum, nur weiss ich hier nicht ob mein  Ansatz richtig ist.

VG :)

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Die Entladezeitkonstante \tau eines Kondensators in einem RC-Kreis ist die Zeit, in der sich der Kondensator auf e^{-1} (entsprechend 0,368) seinerAusgangsladung bei t = 0 entlĂ€dt. FĂŒr einen Kondensator ist \tau = 1s. In welcher Zeit t (in Sekunden) hat der sich der Kondensator auf 50,0% seiner Anfangsladung entladen ?

Die Berechnungen sind ohne den physikalischen Hintergrund betrachtet etwas einfacher.
Eine Analogie zum radioaktivem Zerfall ist gegeben.
Siehe deine Skizze

Exponentialfunktion

( 1 sec | e ^{-1} )
( 0 sec | 1 )

K ( t ) = K0 * fak ^t
K0 = 1
K ( 1 ) = 1 * fak ^1 = e ^{-1}
1 * fak ^1 = e ^{-1}
fak = e^{-1}

K ( t ) = K0 *  (1/e ) ^t
K ( t ) / K0 = 50 % = 0.5
K ( t ) / K0 =  ( 1 / e ) ^t
0.5 = ( 1 / e ) ^t | ln
ln ( 0.5 ) = t * ln (1/e)
ln (1/e) = ln(1) - ln(e ) = 0 -1 = -1
ln(0.5) = t * (-1)
t = 0.693 sec

Dies wÀre die " Halbwertzeit " ( 50 % Entladung )
Deine Skizze ist glaube ich nicht so ganz richtig.
Bin gern noch weiter behilflich.

von 7,0 k

Das ist die Skizze, die ich aus dem Buch entnommen habe also ein Beispiel und deswegen wollte ich auch nach den vorgaben wie im Buch da heran gehen aber dein Ansatz sieht ja schon mal sehr Àhnlich aus wie der von vorhin. Ich werde mir das mal genauer unter die Lupe nehmen.


VG: )

Hier sowie in der anderen Aufgabe gehst du auf die Zerfallskonstane lambda gar nicht ein, was mich etwas irritert. Dennoch ist der Rechenweg schlĂŒssig.

und dennoch ist deine Weise nicht allgemein anwendbar und deswegen gehe ich wie im Buch vor, damit ich es halt fĂŒr allgemeine Aufgaben anwenden kann.

Da lambda mit der Halbswertszeit zusammenhĂ€ngt wĂŒrde ich es lieber mit lambda machen.

Hier die Berechnung mit e als Basis der
Exponentialfunktion

K ( t ) = K0 * e ^{-λ*t}

2 Punkte sind gegeben
( 1 sec | 0.368 )
( 0 sec | 1 ) => K0 = 1

K ( t ) = 1 * e ^{-λ*t}
K ( t ) = e ^{-λ*t}
( 1 sec | 0.368 )
K ( 1 ) = e ^{-λ*1} = 0.368
e ^{-λ} = 0.368 | ln
-λ = ln ( 0.368 )
λ = 1

K ( t ) = 1 * e ^{-1 * t}
K ( t ) =  e ^{-t}

Entladung auf 50 %
K ( t ) =  e ^{-t} = 0.5
e ^{-t} = 0.5  | ln
-t = ln(0.5)
t = 0.693 sec

So sieht die Frage mathematisch aus

gm-8.jpg


K0, Lambda berechnen.
Funktion aufstellen
t - Wert fĂŒr 50 % Entladung berechnen.

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