maximale geschwindigkeit bei kurve mit überhöhung 5% , r=30m und koeffizient=0.8

Question

mit welcher maximalen geschwindigkeit kann eine kurve mit radius 30 meter und überhöhung=5% quergefälle durchfahren werden, wenn der haftreibungskoeffizient 0.8 beträgt?

Answer 1

Hallo xxx,

eine Skizze zum Problem:

Gewichtskraft \(G\) und Zentrifugalkraft \(Z\) addieren sich zu der hellroten Gesamtkraft. Diese wiederum teilt sich auf in die Normalkraft \(F_N\) senkrecht zur schiefen Ebene und der Tangentialkraft \(F_T\) parallel zur Ebene (beide blau). Die Reibung hält die Masse genau dann ausreichend fest, wenn \(F_T \div F_N \le 0,8\) ist. Heißt formal

$$\arctan \frac{Z}{G} - \alpha \le \arctan 0,8$$

Wobei \(\alpha\) (gelb) der Winkel der Ebene gegenüber der Horizontalen ist. Mit \(G=m \cdot g\) und \(Z=m \cdot v^2/r\) und dem Additionstheorem von \(\tan(\alpha + \beta)\) erhält man:

$$v \le \sqrt{ r \cdot g \cdot \tan( \arctan 0,8 + \alpha ) } = \sqrt{30 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,8 + 0,15}{1 - 0,8 \cdot 0,15} } \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ \space \approx 17,8 \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx64,2 \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Nachtrag nach Hinweis von hj2166 (s.u.): und wenn man statt 15% Steigung die angegebenen 5% einsetzt, erhält man

$$v \le \sqrt{30 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,8 + 0,05}{1 - 0,8 \cdot 0,05} } \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 58,1 \frac{\text{km}}{\text{h}}$$ Gruß Werner

Comments

Eine Skizze zum Problem :
Die Gewichtskraft F_(G) bewirkt zunächst eine Anpresskraft N_(1) und eine Hangabtriebskraft H_(1). H_(1) und die Reibungskraft F_(R) zusammen (das sei F_(T)) sorgen für die erforderliche Zentripetalkraft F_(Z) und eine weitere Normalkraft N_(2), die zusammen mit N_(1) die Normalkraft F_(N) bildet.

Für die Beträge der Kräfte gilt nun
N_(1) = F_(G)*cos α  ,  H_(1) = F_(G)*sin α ,  F_(T) = F_(Z)*cos α  ,  N_(2) = F_(Z)*sin α

Die notwendige Bedingung  F_(R) < µ*F_(N) lässt sich damit schreiben als
     F_(Z)*cos α - F_(G)*sin α  <  µ*(F_(G)*cos α + F_(Z)*sin α)
⇔  F_(Z)*(cos α - µ*sin α)  <  F_(G)*(µ*cos α + sin α)
⇔  m*v^2/r  <  m*g* (µ*cos α + sin α)/(cos α - µ*sin α)

Einsetzen der gegebenen Werte liefert    v < 14,16 m/s  =  58,11 km/h .

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Hallo hj2166,

Setze doch mal probehalber in Deine Gleichung ein ausreichend großes \(\alpha\) ein. Z.B.: \(\alpha=70°\). Dann ist mit \(\mu=0,8\) der Term im Nenner

$$\cos \alpha - \mu \cdot \sin \alpha = \cos 70° - 0,8 \cdot \sin 70° \approx -0,41$$ eine negative Zahl. Gibt also keine Lösung mit \(r>0\) und \(v \in \mathbb{R}\). Es muss aber eine Lösung geben; siehe dazu hier.

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Du hast nicht berücksichtigt, dass für große α oder kleine v der Vektor F_(R) in die entgegengesetzte Richtung zeigt.

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.. und für große \(\alpha\) und große \(v\)? was ist damit? Das \(F_R\) kommt doch in Deiner Endformel gar nicht vor - dort lese ich:

$$\frac{v^2}{r} \lt g \cdot \frac{\mu \cdot \cos \alpha + \sin \alpha}{ \cos \alpha - \mu \cdot \sin \alpha } $$ das sollte doch für alle \(\alpha\) mindestens im Intervall \([0 \dots 90!°)\) gelten. Was passiert denn, wenn \(\alpha=51,34°\) ist?

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Warum hackst du immer auf meiner Formel herum wo es doch dieselbe ist wie deine ?

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und warum kommt dann was anderes raus?

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Weil du 5% mit 15% verwechselt hast.

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und wozu dann der Aufwand bei Deinem ersten Kommentar?

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Ich hasse Zentrifugalkräfte.
Und "Aufwand" ist das Bemühen eines Additionstheorems für den Tangens.

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.. Du lenkst ab!